接触问题的自适应有限元方法研究

Adaptive Finite Element Method is an important approach for scientific and engineering computing.In this project,we plan to apply this method to solve frictional contact problem with unilateral condition and Columb law between two bodies,where the continuous contact and sliding contact are considered.Besides, Signorini problem, which belongs to contact problem with free boundary, is also considered. Our method is based on the frame of the classical iterative analysis method. We introduce the energy functional which can reflect the geometry restriction and the friction law on the contact zone.The a posteriori error estimate in the inner region is derived by Zienkiewicz-Zhu technique,which is a recovery type method for error estimate. Simultaneously, the error associates with the pressure on the contact zone uner L1-norm is presented. The adaptive process is controlled by these two strategies. Besides,we associate the method of fictitious domains with adaptive finite element method for solving Signorini problems. We extent the original problem to an auxiliary problems with Neumann boundary conditions and the admissible solution set is L2(Ω) in the bigger smooth domain Ω. Obviously, it is easy to implement . the numerical approximation.

自适应有限元方法是当前科学和工程计算的重要方法。本项目利用自适应有限元方法快速求解力学中的摩擦接触问题，包括连续接触状态和滑动接触状态下的两个物体间带单边条件的满足Columb摩擦定律的摩擦接触问题及带自由边界的Signorini问题。该方法的特点是，在经典迭代分析框架下，结合罚方法或增广Lagrangian技巧将反映接触条件的几何约束及服从的摩擦定律引入能量泛函，利用重构型误差估计方法中的Zienkiewicz-Zhu方法给出区域内部压力在能量范数下的后验误差估计，在接触区域上建立反映其上表面压力在L1范数下的误差估计。在上述两种误差策略下，给出摩擦接触问题的自适应算法。在求解自由边界的Signorini问题时，我们利用虚拟区域思想，将原问题转化为扩大光滑区域Ω上的辅助问题。该辅助问题的容许解集为L2(Ω)上的满足Neumann边值条件函数集，利于应用有限元方法求解。

接触问题在工程和日常生活中随处可见。 接触问题属于边界非线性问题。在这类问题中，边界条件不再是定解条件而是待求结果；两接触体间接触面积与压力随外在荷载的变化而变化，并与接触体的刚性有关。这些是该问题的特点，也是困难所在。接触问题的数值求解被证明是相当困难的。此外，在带摩擦的接触问题中，除了接触区域(zone)事先未知外，摩擦条件本身也是非线性和不可微的，从而导致这类问题的理论分析和有效的数值模拟都是极大的挑战。. 本项目已研究了一类接触问题的数值方法及在数值求解过程中涉及的理论问题。这类接触问题包括柱体弹塑性的扭转、流体润滑中的空化问题及障碍问题等。我们从其第一类变分形式出发，将未知接触边界和弹性形变两者分别作为外层和内层迭代量，给出了该类接触问题的Uzawa算法, 相应的数值算例验证了算法的可靠性和有效性。相关研究成果发表在《Applied Mathematics and Mechanics(English Edition)》。. 针对接触问题的变分形式，在一致凸的对偶Banach空间中，我们建立了一类集值变分包含问题的存在性定理。并讨论了在没有附加连续性假设前提下，证明了Mann型迭代序列强收敛到问题的解。相关研究成果发表在《南昌航空大学学报(自然科学版)》。. 对于数值离散后的三对角矩阵，我们利用对称次反对称矩阵的性质和线性方程组有解条件，得到了对称三对角阵向量对反问题有唯一解的充要条件及解的表达式，给出了相应的数值算法及相应的数值算例验证了算法的有效性。相关研究成果发表在《济南大学学报(自然科学版)》。. 在数值求解过程中，我们发现了可能出现没有物理意义的负解。为了保证数值结果的鲁棒性，我们研究了如何得到保持高阶精度的正性解，提出了一类旋转限制器，该限制器可以推广应用到其他相关问题。相关研究成果发表在《SIAM Journal on Scientific Computing》。. 利用隐式龙格库塔方法、高阶指数时间离散方法给出了求解一维Burgers方程的高阶算法。相关研究成果发表在《IAENG International Journal of Computer Science》；