分形几何的若干前沿问题

Fractal geometry studies objects that are irregular or non-smooth in mathematics, science and the nature. The applications and interplays of fractal geometry appears in many disciplines of science...The goal of this project is to investigate both fundamental theoretical problems in fractal geometry, and their applications in mathematics as well as other scientific fields. These problems, which represent the recent developments of fractal geometry, include: Dimension theory of typical fractal sets; Moran classes; self-similar structures with overlaps; multi-fractal analysis of non-regular measures; bi-Lipschitz equivalence of fractal sets; self-similar sequences and substitution dynamical systems; structure of factors and application, spectra of discrete Schrodinger operators; metric number theory related to beta-expansions; applications in other scientific fields...These topics are relatively independent and also closely related to each other. They are not only significant in fractal geometry, but also have high potential in applications.

分形几何研究不规则几何形体，是具有很强应用背景的交叉学科。本项目研究分形几何的一些非常基本而重要的前沿问题，它们涉及到分形几何的基本理论以及与其它学科的交叉，相对独立但密切相关，它们对分形几何自身的发展以及应用前景均有重要意义。这些问题包括分形几何理论的一些基本问题:一些重要集类的维数与测度，Moran集类；带重叠结构的自相似集的结构；非正则测度的重分形机理；分形集的双倍李普希兹等价；自相似序列与代换动力系统；因子结构及其应用；非周期链的薛定愕方程的算子谱的分形结构；与实数的各种展式（包括beta展式和连分式图展式）相关的度量数论中的问题；分形在其它学科的应用。上述不同的课题彼此独立但密切相关，它们不仅在分形几何的研究中有重要意义，而且在应用中有很大潜力。

本项目“分形几何的若干前沿问题”，集中研究该领域若干基本问题，这些问题处于研究前沿，在理论和应用上都有重要意义。这些课题包含“离散薛定谔算子谱的分形结构”、“分形集的结构与性质”、“自相似序列的性质以及分形结构”、“度量数论和数系展开”，本项目在执行期间，对这些问题做了深入系统的研究，发表学术论文45篇（另有已被接收文章和预印本9篇），主要的预定研究目标达到，有些成果超过预期。.本项目取得了一些突出成果：研究了概Mathieu序列、Morse序列和Sturm序列这三类最重要的非周期序列的算子谱，估计了这些谱的维数，揭示了一些新的物理现象，所获成果位于同类研究的前沿。确定了一类重要迭代函数系的吸引子的维数、Moran集的维数、从测度引入了吸引子的分离性条件，得到一些新的结果；建立了无加倍条件的重分形分析机理。对李普希兹等价和李普希兹嵌入这一困难问题取得重要进展。进一步刻画了临界集的结构，得到更为精细的结果。在分形的拓扑结构的研究中，引入了新的方法和技巧，彻底解决了自相似集情形的度量Peano连续统的结果，确定了相应的Holder维数，这是该课题迄今为止最好的结果。利用自相似序列的性质和我们发展的计算Hankel行列式的技巧，确定了一类超越数的无理指数；通过研究序列的Abel复杂度，引入了一类新的分形函数；引入了因子谱的概念和方法，解决了一些词上的组合理论的一些困难问题。在分形与度量数论的研究中，研究了刁番图逼近满足指定增长性的维数与维谱，在不同数的进制展开-特别是以无理数为基底的展开的结构中解决了系列猜想，并用于目前的一个活跃问题-搜索靶问题，取得重要进展。