环的单位图，单位凯莱图和comaximal图的结构及其应用

This project is an interdisciplinary research between ring theory and graph theory. Because of the limitation of the definition of the zero-divisor graph and some related graphs of rings, the research between rings and graphs is limited to the finite rings , and the characterization of the general rings is limited to a certain extent. The unit graphs, unitary Cayley graphs and comaximal graphs of rings make this limit to be broken. In this project, we mainly study some invariants (such as girth, diameter, radius, planarity, etc.) of unit graphs, unitary Cayley graphs and comaximal graphs of rings, and using these invariants to characterize the properties and the structure of rings. Furthermore, we also investigate the algebraic invariants (including integrality, energy, etc.) of these graphs. Then we explore their applications in chemical graph theory. Research projects not only comprehensively use the knowledge of graph theory and ring theory, but also need combinatorics, group theory and computer algorithm, so the study of the project is bound to be enriched and developed the theory of this research field.

本项目是环论与图论交叉的研究领域。由于环的零因子图以及一些相关图的定义的局限性，使得环与图这一领域的研究局限在有限环上，对一般环的刻画非常有限。环的单位图，单位凯莱图和comaximal图的出现，使得这一限制得以突破。本项目主要研究环的单位图，单位凯莱图和comaximal图的一些不变量（如围长、直径、半径、平面性等），并且利用这些不变量刻画相应的环类。此外还研究这些图的代数不变量（包括整性，能量等）以寻求它在化学图论中的应用。项目的研究除了综合运用图论与环论的知识外，还需要组合数学，群论和计算机算法，因此项目的研究势必对这个领域的理论得到丰富和发展。

环与图的研究开始于1988年Beck引进的交换环的零因子图，之后几十年里形成了环的各种图的定义，表明了环的图结构的研究经久未衰，已然形成了一个重要的交叉研究领域。项目主要研究了代数系统的性质与图结构及其应用。具体研究了环的单位图、单位凯莱图的性质；研究了环的单位群以及特殊元素对环性质的刻画；研究了环的零因子图，群的幂图和子群交图、环的幂映射图和双线性图等其他图的性质；研究了环论在编码等方面的应用。研究工作取得了满意的成效，发表论文28篇，申请发明专利2项，其中SCI收录论文15篇, 北大中文核心期刊论文4篇。积极举办和参加国内外学术会议并作学术报告，扩大学术影响，特别是2019年成功举办了第十五届全国代数学学术会议，参会学者750余人，是历届之最。通过项目研究，培养硕士研究生12人，毕业9人，2人考取博士研究生。超额完成了项目任务书要求的考核指标。