大变形结构无网格拓扑优化方法研究

The linear elastic response is assumed in most structural topology optimization problems. While this assumption is valid for a wide variety of problems, it is not valid for structures undergoing large deformation, such as in the case of compliant mechanism design, energy absorbing structure design and crashworthiness design. There are some difficulties involving mesh distortion or entanglement resulting in unreliable numerical results when dealing with the geometrically nonlinear problems by finite element method (FEM). By virtue of avoiding the dependence of meshes, the meshless method reveals better accuracy and efficiency than the FEM in large deformation analyses. This project researches topology optimization of structures with large deformation based on the meshless natural neighbor Petrov-Galerkin method. We are dedicated to study and resolve the difficulties encountered by FEM in topology optimization of structures with large deformation, such as mesh distortion or entanglement, the numerical instability problems arisen by unstable elements, checkerboard phenomenon, localized modes, etc. The efficient meshless numerical method is proposed for accurate and effective design sensitivity analysis. The validity and stability of the meshless method for topology optimization of structures with large deformation would be demonstrated by some applications in topology optimization of compliant mechanism and energy absorbing structure designs.

在大多数结构拓扑优化问题中都假设线弹性响应，虽然这种假设对于很大一类问题都是有效的，但是对于柔顺机构、吸能减振结构、抗撞性结构等经历大变形的结构不再有效 。有限元法在处理几何非线性问题时可能产生网格畸变现象，将降低计算精度，如果不放松收敛准则甚至可能无法得到收敛解。由于摆脱了网格的限制，在进行大变形分析时，无网格法具有天然的优势，比有限元法具有更好的精度和收敛性。本项目基于无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法，系统研究大变形结构的拓扑优化问题。研究解决有限元法在处理这类大变形拓扑优化问题时存在的网格畸变，"不稳定单元"造成的数值不稳定性问题，"棋盘格"现象，局部模态等相关问题。建立精确、高效设计灵敏度分析的无网格数值算法；研究无网格法应用于大变形结构拓扑优化设计的有效性和稳定性。开发适合于大变形连续体结构拓扑优化设计的程序并应用于柔顺机构、吸能减振结构等工程实际的拓扑优化设计。

在大多数结构拓扑优化问题中都假设线弹性响应，虽然这种假设对于很大一类问题都是有效的，但是对于柔顺机构、吸能减振结构、抗撞性结构等经历大变形的结构不再有效。有限元法在处理几何非线性问题时可能产生网格畸变现象，将降低计算精度，如果不放松收敛准则甚至可能无法得到收敛解。对于连续体结构的拓扑优化问题，精确的结构响应分析是至关重要的。由于摆脱了网格的限制，在进行大变形分析时，无网格法具有天然的优势，比有限元法具有更好的精度和收敛性。本项目基于无网格法对大变形结构的拓扑优化问题开展了系统研究。首先，针对几何非线性问题，采用Matlab语言开发了几何非线性结构响应分析的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法的数值求解程序并验证了程序的求解精度和有效性。基于本项目获得验证的无网格数值求解方法，建立了考虑几何非线性的大变形结构无网格拓扑优化方法。开展了大变形结构的静、动力拓扑优化以及柔顺机构的拓扑优化设计。本项目的研究表明，采用基于节点离散的无网格自然邻接点Petrov-Galerkin法避免了有限元法在处理大变形问题时遇到的网格扭曲导致的“不稳定单元”数值不稳定性问题，为大变形结构的拓扑优化设计提供了稳健的数值分析方法。针对基于有限元的结构拓扑优化方法普遍存在的棋盘格现象和网格依赖性等数值计算不稳定的问题，本项目提出了一种基于无网格法的连续的密度插值方法，该方法在构建连续刚度场的同时约束设计变量空间，保证了拓扑优化问题的解的存在性。针对特征值拓扑优化过程中低密度区域可能出现的局部模态造成的数值不稳定问题，采用了在模态分析时忽略低密度区域节点自由度的方法并通过数值算例证明了该方法的有效性。