尺度结构随机种群模型稳定性分析与控制

The study of evolution principle of many biological systems needs to consider not only the age structure of a population, but also, in most situations, the body size structure and the influence of environment noise. The problems of behaviors and control of body-size-structured stochastic population models have recently become a very important research topic. However, up to now, there is little work on this field. For this reason，our project will formulate some size-structured population ecology models described in terms of stochastic partial functional differential (integral-differential) equations, and study the dynamics and control problems of these models. In this project, we will mainly investigate the asymptotic behaviors of the systems, such as existence and uniqueness, nonnegativity and boundedness of solutions, stability of the systems. On the basis of these, we will further explore the effective control methods/ways to the systems, including controllability, optimal protection and optimal harvesting policies. We will also conduct estimation and hypothesis testing of related parameters. The research project will reveal the special influence of body size and environment noise on the evolution of population ecology systems. Furthermore, it may hopefully enrich theories about stability, controllability and optimal control of the nonlinear stochastic evolution equation, and provide reliable basis for biological researchers in the field of population ecology protection and exploitation.

对许多生物系统演化规律的研究不仅要考虑种群的年龄结构,在很多情况下,还必须考虑其个体的尺度结构和环境噪声的干扰。基于个体尺度结构的随机种群生态模型的性态与控制问题是非常重要的研究课题，然而现有的这方面工作还很少。为此，本项目拟建立若干基于个体尺度结构、由随机偏泛函微分（或积分微分）方程刻画的种群生态模型，并对其动力学行为及控制问题进行研究。主要内容包括：研究系统的动力学渐近行为，如解的存在唯一性、非负性、有界性，系统的稳定性；在此基础上，进一步探讨对其进行有效控制的方法和途径，如系统的可控性、最优保护与最优收获策略等，并对模型的相关参数进行估计和假设检验。通过本项目的研究，一方面可以揭示个体尺度和环境噪声对种群生态系统演化所产生的特殊影响，另一方面可以进一步丰富非线性随机发展方程解的稳定性、可控性和最优控制等有关理论，为从事种群生态保护和开发的生物工作者提供可靠的理论依据。

本申请项目建立了几类全新的基于两种尺度结构的网络传播模型、具有空间和尺度结构的种群模型、依赖年龄/规模结构的种群模型、带有扩散项的捕食食饵模型，利用网络传播动力学理论、算子半群、预解算子和线性发展算子理论系统研究了这些模型的动力学渐近行为和控制问题，并深入探讨了随机时滞发展方程解的存在性、正则性和稳定性，以及Hopf分支和可控性。主要研究工作和成果有：..1) 构建了霍乱等在随机网络和环境两种媒介中传播的模型，准确刻画了两种尺度结构下随机传播的平均过程，揭示了网络上竞争传播的机理，给随机种群系统的定性理论研究和控制问题研究奠定了基础；..2) 对具有空间和尺度结构种群系统的稳定性和Hopf分支等动力学行为开展了较为系统的研究，取得了稳定性、Hopf分支和异步增长性方面的一系列重要成果；..3) 研究了具有时滞边界条件的依赖年龄/规模结构种群模型Hopf分支问题，利用算子半群和Perron-Frobenius技巧建立了这类系统平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分支的存在性，揭示了时滞对动力学行为的深刻影响； ..4) 利用基本解理论研究了半线性随机发展系统的可控性和最优控制问题，取得了原创性成果。由于非自治系统研究的困难，这方面研究国内外还相当鲜见；..5) 利用Fourier乘子定理和Fourier变换或Carleman变换技巧讨论了Banach空间一类具有无穷时滞二阶泛函发展方程周期解的存在唯一性、最大正则性。其创新之处在于直接利用了Banach空间无穷时滞相空间讨论上述问题，避免了借助有限时滞方程的已有结果，使得所获得的结论具有相当的普遍性；..6) 研究了具有时滞和扩散的基因表达模型、带扩散项的Leslie-Gower捕食食饵模型的稳定性和Hopf分支问题，得到了确定Hopf分支方向及分支稳定性的计算公式，较大推广了这一方面的已有结果，具有较重要的理论和应用意义。