分数高斯噪声激励下粘弹性非线性系统的随机响应分析

This project aims to study the response of nonlinear stochastic systems with fractional derivative-type viscoelasticity excited by fractional Gaussian noise. Classical random vibration techniques including stochastic averaging method and equivalent linearization are applied to establish a pragmatic procedure of deriving the stochastic response in virtue of the combination of time and frequency domain analysis. Based on the verification of numerical results, the influence of important parameters such as the order of the fractional derivative and the Hurst index of the fractional Gaussian noise will be intensively discussed. The procedure proposed is expected to provide theoretical analysis tool for the probability evolution and stability control of nonlinear vibration structures compromising viscoelasticity. Especially, for the viscoelastic term.modeled by fractional derivative, the decomposition procedure helps to illustrate the ingredients of the viscoelastic term, and the derived results are aimed at demonstrating the affect of the long-range correlation on the response.

本项目旨在提出一套分数高斯噪声激励下分数阶导数型粘弹性非线性系统随机响应分析的实用方法。首先，利用统计线性化法给出具有随机系数的等效拟线性系统，并应用随机平均法建立随机Ito方程，得到随机响应的Markovian近似并求解对应的FPK方程；将时域分析与频域分析相结合，借助数值模拟，得到系统的随机响应及其统计特性。然后，以随机响应分析的结果为依据，对所考察系统中的重要参数如分数阶导数的阶数、分数高斯噪声的Hurst指数等作细致讨论，分析参数变化对响应产生的影响。本项目所提出的方法和结论将为研究粘弹性非线性随机振动结构的演化及控制提供理论分析工具，并对工程实际领域中的相关问题给出科学指导。特别地，对于分数阶导数型粘弹性力，所得到的结果有助于揭示不同的导数阶数下粘弹性项在系统中的成分；对于分数高斯噪声激励，所给出的结果将有望阐明分数高斯噪声特有的长程相关性对响应的影响。

在各应用领域，微分方程常被用于对系统进行建模，考虑到分数阶导数模型相对于整数阶导数模型能更准确客观地描述系统特性，最近几十年来，分数阶导数系统的研究得到众多学者的关注。此外，基于高斯白噪声与扩散过程模型,非线性随机动力学取得了长足发展。其中，反常扩散现象和动态系统响应的非Markov性在研究中成为不可回避的问题。在理论研究方面,分数阶布朗运动非常适合用来模型化反常扩散过程,相应的激励和噪声则由分数阶高斯噪声来描述。在此背景下，结合非线性随机动力学领域的经典方法，本项目旨在探索分数高斯噪声激励下典型分数阶导数系统随机响应的理论分析方法。.本项目针对分数高斯噪声激励下的典型分数阶导数系统提出了一套近似解析方法,并使用数值结果验证近似理论结果的有效性。首先，利用统计线性化法给出具有随机系数的等效拟线性系统，并应用随机平均法建立随机Ito方程，得到随机响应的Markov近似并求解相应的FPK方程，得到随机响应的稳态概率分布；计算近似系统响应的功率谱密度函数，将频域分析结果作为时域分析结果的补充。然后，借助数值模拟，验证近似解析结果的准确性。最后，以随机响应分析的结果为依据，对典型系统中的关键参数如分数阶导数的阶数、分数高斯噪声的Hurst指数等作细致讨论，分析参数变化对响应的影响。.本项目所提出的方法和结论一方面将进一步丰富非线性随机动力学领域的理论成果，为分数高斯噪声激励下典型分数阶导数系统的响应分析提供参考。另一方面，本项目的工作可用于探讨粘弹性非线性随机振动结构的演化及控制，为工程实际领域中相关问题的研究提供理论分析工具。