时性规范下动态金兹堡-朗道超导方程的全离散有限元解法

The Ginzburg-Landau theory is an important phenomenological model describing superconductivity in physics. Correspondingly, efficient and accurate numerical methods for the Ginzburg-Landau equations are crucial in the development of science and technology related to superconductivity. In this project, we study fully discrete finite element methods for the dynamic Ginzburg-Landau equations under the temporal gauge, a system of degenerate parabolic equations. Instead of introducing a perturbed regular parabolic system as in most previous works, we solve the degenerate parabolic system directly by unconditionally stable fully discrete finite element methods. Uniform convergence rate of the finite element solution on the whole time interval is studied, and the evolution of superconductivity vortices are simulated. Due to the degeneracy of the magnetic potential equation under the temporal gauge, the convergence rate is one-order lower than the optimal convergence rate of finite element methods for standard parabolic equations. Numerical examples are provided to support our theoretical results.

金兹堡-朗道方程组是描述超导现象的至为重要的宏观唯象模型，在超导技术的科学研究中有着广泛的应用，金兹堡-朗道方程组的高精度科学计算方法对超导技术的发展具有重要意义。本项目将深入系统地研究时性规范下动态金兹堡-朗道方程组的全离散有限元解法的收敛性和稳定性。与前人不同的是，我们将避免引入扰动的抛物方程组，直接求解时性规范下的退化型抛物方程组，为此退化型抛物方程组设计长时效无条件稳定的高精度全离散有限元解法。由于方程组的退化性，其有限元解的精确度将被证实比一般抛物方程低一阶。我们将提供大量数值算例验证本项目的理论分析结果。

金兹堡-朗道方程组是描述超导现象的至为重要的宏观唯象模型，在超导技术的科学研究中有着广泛的应用，金兹堡-朗道方程组的高精度科学计算方法对超导技术的发展具有重要意义。本项目研究了时性规范下动态金兹堡-朗道方程组的全离散有限元解法的收敛性和稳定性。与前人不同的是，我们避免引入扰动的抛物方程组，直接求解时性规范下的退化型抛物方程组，为此退化型抛物方程组设计长时效无条件稳定的高精度全离散有限元解法。由于方程组的退化性，其有限元解的精确度将被证实比一般抛物方程低一阶。证明了金兹堡-朗道方程组在三维不光滑非凸区域上的适定性。我们提供大量数值算例验证本项目的理论分析结果。项目研究期间，发表论文4篇，其中第一作者SCI论文两篇，通讯作者SCI论文一篇，第二作者SCI论文一篇。