超导问题中动态金兹堡－朗道方程的高效计算方法

The time-dependent Ginzburg-Landau (TDGL) model has been used extensively in the study of superconductors. The numerical simulation of this model requires reliable and efficient methods. Due to the strong nonlinearity and coupling of unknowns, numerical methods for the TDGL equations are full of challenges. In this research project, the investigator will try to design efficient numerical methods to solve the TDGL equations. In particular, we will develop fast and accurate schemes to compute magnetic field curl A. Most previous works focused on solving ψ and A，and then use numerical differentiation to compute curl A. In this project, we try to provide a new numerical approach to compute the three variables ψ, A and curl A directly. We will use finite element approximations in spatial direction and linearized schemes in temporal direction, respectively. Rigorous stability and convergence analysis will be conducted. This research project may provide new and efficient methods for the computation of the TDGL equations.

超导材料在工业生产中具有重要的应用价值。动态金兹堡－朗道(time-dependent Ginzburg-Landau)方程组是一个描述超导现象的重要方程组。该方程组是抛物型的且具有极强的非线性耦合，其性质复杂、理论分析困难，开发高效数值方法及严格论证算法收敛性和稳定性具有重要意义。本项目将致力于研究动态Ginzburg-Landau方程组的高效线性化有限元方法。我们将探索新的路径，期望能够发展新的数值方法来高精度快速的解出序参数ψ，诱导磁向量势 A 以及磁场 curl A 等物理量。我们将对新的数值方法做严格的稳定性和收敛性分析。我们期望通过本项目的研究为动态超导方程的数值求解提供新的高效方法。

本项目发展并提出了一类高效的计算方法来求解超导模型中的Ginzburg-Landau方程及并研究了算法的收敛性和稳定性。本研究项目开发了新的高效有限元方法，克服了磁势A的奇异性，使得Lagrange元可以用来精确的计算超导方程。尤其是，本研究项目设计的算法能够高效求解磁场∇×A。具体来说，通过引入一个新的关于磁场∇×A的方程，我们对原来的超导方程进行改写。然后，我们使用了线性化有限元格式来求解该问题，即对空间进行有限元离散，对时间采用线性化的差分离散。超导模型由动态 Ginzburg-Landau 方程组刻画，在超导科学中扮演了极为重要的角色。这个项目的研究结果以及开发的计算格式为动态 Ginzburg-Landau 方程组提供了新的理解视角和高效计算工具。进而，本研究项目能为超导材料的研发提供基础性支持。