非光滑无限优化问题的研究及其应用

In this project, we aim to investigate the nonsmooth optimization problems with infinite inequalities constraints. First, we study the relationships among various kinds of constraint qualifications for the inequality system; moreover, by introducing the new Slater type conditions and interior-point conditions, we establish some sufficient conditions for ensuring these constraint qualifications. Further, we apply the obtained results to the nonsmooth optimization problems with infinitely many inequalities constraints. We provide some sufficient conditions for ensuring the strong Lagrange duality, Farkas type results and optimality conditions. Dual characterizations, both asymptotic and nonasymptotic, for set containment problems are established. The stability for the optimization problems under perturbations of both objective function and constraint set are studied. Meanwhile, we also study the convergence analysis of the numerical methods for solving the nonsmooth optimization problems with infinite inequalities constraints, and further apply the results to the feasibility problems and the variational inequality problems. The research of this project not only enriches and develops the nonsmooth optimization theory, but also provides theoretical basis and technical support for image processing, engineering design, financial management and so on. In particular, a method based on subgradient projections for image denoising will be proposed.

本项目主要研究带无限不等式约束的非光滑优化问题。首先，针对无限不等式系统，探讨不同约束规范条件之间的内在联系，通过引进Slater类条件和内点条件，建立保证这些约束规范条件成立的充分条件。然后，运用所得结果，建立带无限不等式约束的非光滑优化问题中强Lagrange对偶，Farkas类结果以及最优性条件成立的充分条件，给出集合包含问题的渐近型和非渐近型对偶特征刻画，分析优化问题在目标函数和约束域扰动下的稳定性。同时，还研究求解带无限不等式约束的非光滑优化问题的数值算法及其收敛性，并将其应用于可行性问题和变分不等式问题。本研究工作将进一步丰富和发展非光滑优化问题中的理论、方法和技巧，并且为图像处理、工程设计、金融管理等领域提供理论和技术上的支持与保障；特别的，针对图像处理，将提出一种基于次梯度投影的图像去噪方法。

非光滑优化问题中的理论与方法，在众多科学领域中有着广泛的应用，是现代应用数学的重要研究分支，一直受到研究工作者们的广泛关注。本项目针对非光滑标量优化问题中的约束规范条件、对偶、稳定性，变分不等式问题以及非光滑向量优化问题中的理论与算法进行了分析与研究。. (1) 针对赋范线性空间中的无限凸不等式系统，我们研究了FM条件和BCQ条件。基于新建立的关于闭凸集族SECQ条件的结果，给出保证FM条件和BCQ条件成立的松弛Slater类条件。我们研究了复合优化中的对偶问题，给出了凸复合优化中零对偶间隙性质成立的一些充要条件，建立了DC复合优化问题中弱/强/稳定全对偶成立的充要条件。针对带参数的优化问题，在目标函数受到倾斜扰动和参数扰动时，我们建立了完全稳定适定性与一致增长条件之间的关系。 . (2) 我们研究了Hilbert空间中的单调变分不等式和不动点问题，以及伪单调变分不等式，提出了改进的外梯度算法；对分裂单调变分包含问题提出了近似算法；针对三层次变分不等式问题，提出一种隐式混合迭代算法，并建立了这些算法的收敛结果。在Banach空间中，我们研究了一类广义混合向量平衡问题，通过构造辅助问题，证明了所提算法的强收敛性。我们还研究了Banach空间中无限非线性分裂变分不等式及偏序Banach空间中的不动点问题。. (3) 我们研究了非光滑拟凸多目标优化问题中的投影次梯度方法，以及凸/非凸约束多目标优化问题中的非单调投影梯度法，建立了算法收敛到问题的最优点/稳定点的结果。针对线性分式向量优化问题，研究了有效解的Borwein性质，给出有效解是Borwein有效解的充分条件。 . 我们的研究取得了丰硕的成果，在SIOPT，JOTA，JOGO等国际重要SCIE刊物上发表16篇论文，进一步丰富和发展了非光滑优化中的理论、方法和技巧，并且为其他相关领域提供了理论和技术上的支持与保障。