（n+1)维非线性耦合波方程的解析解和稳定性问题研究

In the past years, researchers pay attention to travellig wave equations because those models describe the nonlinear wave phenomena precisely in physics, chemistry, bioscience, etc. However, it is difficult to solve those models in their PDE form. Dynamical system theory takes an important role in the research of travelling wave equation because translating the PDE into ODE is a useful method to gain the dynamical characters. This project mainly study the analytical solutions and spectral stabilities of (n+1)-dimentional coupled nonlinear wave equations . Particalarly, the project tries to investigate the solving process of the equations which include partial singularity by eniminating the singularity step by step and using the dynamical system theory. The aim is obtains some new analytical solutions of that equations. In order to obtain some valuable results in the field of production and engineering application, the project also study the dynamics properties respecting to the remaining singularities by theoretical derivation and numerical simulation. This research will contribute to enrich and complete the theory of dynamical system method to study the nonlinear travalling wave equation.

行波方程模型因准确刻划了物理学、化学、生命科学等领域的非线性波现象而倍受关注，但其PDE方程的复杂形式也导致求解过程十分困难，利用行波变换将其化为常微分方程(ODE)可以较好地研究其动力学性质，因而动力系统理论对波动方程的研究具有特殊而重要的作用。本项目重点研究物理学等领域的（n+1）维耦合波动系统，采用动力系统方法获得某几类耦合方程的解析解，并通过谱分析方法研究部分解析解的稳定性。在此基础上拟尝试选择奇异行波方程，通过逐步消除奇异性的方式，研究含部分奇异性特征的方程，采用动力系统方法获得奇异行波方程新的解析解。由于部分奇异性特征的保留，进一步采用理论推导和数值模拟等方法分析耦合波动系统中与奇异性相关的动力学属性，获得在生产和工程应用等领域有一定实用价值的稳定性等相关研究结果。本项研究有助于充实、完善非线性行波方程研究的动力系统理论和方法。

本项目主要研究（n+1）维非线性耦合波系统的解析解以及平衡点、周期解的稳定性等动力学特征。主要获得以下的研究成果：（1）针对（1+1）维Qiao方程，首先基于李对称分析方法对方程进行约化，获得原方程的两类新的群不变解。其次以所求行波解为基础，提出一种新的构造方法,获得了一批原方程的群不变解和非群不变解，包括变振幅波解、变波长波解以及变振幅和变波长的行波解。最后对应于每个生成子求出了该方程相应的非局部守恒律。（2）研究了12阶13次等变平面多项式扰动系统。利用平面动力系统的分支理论和判定函数法，通过选择恰当的扰动系统参数，获得117个极限环。借助于数值模拟，给出了极限环分布的复眼模式。（3）以时滞作为参数,研究了一类带时滞和平方根响应函数的二维捕食者-食饵模型，分析了所有平衡点的稳定性和Hopf分支出现的条件。采用规范形理论和中心流形定理，求出了Hopf分支方向、稳定性和周期的判定公式，并通过数值模拟验证了理论分析的正确性。（4）对一类带时滞的三维企业竞争模型，研究了系统正平衡点的稳定性与时滞项的联系，采用规范形理论和中心流形定理获得判断Hopf分支方向的表达式和正平衡点处周期解的稳定性，并通过数值模拟验证了理论结果。（5）研究一类带Crowley-Martin函数响应和双时滞的延迟密度依赖捕食者-食饵模型，通过分析对应的特征方程，研究了系统所有可能的平衡点的局部稳定性，并找到共生平衡点的Hopf分支存在的条件。借助规范形理论和中心流形定理，获得了分支方向和分支周期解的表达式，数值模拟的结果证明了理论分析的正确性。（6）研究了两类非线性Van_der_Pol_Duffing振子模型, 运用经典动力系统分支理论，研究该系统的周期轨和Hopf分支，借助谐波线性化方法和一种新的数值方法来定位隐藏吸引子，并通过数值模拟对该非线性系统存在隐藏吸引子进行验证。