控制论中特殊Sylvester矩阵方程的高性能算法研究及应用

Special Sylvester matrix equations play an important role in control theory. The research results on these matrix equations are fruitful. However, the existing numerical algorithms still need to be improved; the existing analytical algorithms remain to be perfected. In order to solve problems exising in theories and methods of special Sylvester matrix equations, this project aims to deeply study the following problems based on our previous research. (1) GPSS iterative algorithm will be proposed to study the numerical solution to large scale Sylvester matrix equation by given four parameters. (2) Based on the Newton iterative algorithm, the relaxed gradient based iterative algorithm will be proposed to investigate the numerical solutions to coupled Sylvester matrix equations. (3) We will discuss the second-order Sylvester matrix equation by applying the finite iterative algorithm. (4) We will study the analytical solution to Sylvester transpose matrix equation by applying Smith normal form reduction, polynomial matrix theory and the Faddeev-Leverrier algorithm, and so on. The obtained new theories and methods in this project are expected to enrich the theory and method system. The research results will provide theoretical basis and technical support for the design of the controller and its application.

特殊Sylvester 矩阵方程在控制器设计中扮演着重要的角色，相关研究成果非常丰富且日趋成熟。然而，现有数值算法仍需改进，解析算法仍需完善。本项目针对特殊Sylvester 矩阵方程算法理论研究中存在的问题和不足，在前期研究的基础上，深入研究以下问题：(1) 通过给定四个参数，建立GPSS迭代算法研究大型稀疏Sylvester矩阵方程的数值解；(2)基于牛顿迭代算法，提出松弛梯度基迭代算法研究耦合Sylvester矩阵方程的数值解；(3) 建立有限迭代算法研究二阶Sylvester矩阵方程的数值解；(4) 利用Smith正规形式还原、多项式矩阵理论和Faddeev-Leverrier算法等探讨Sylvester 转置矩阵方程的解析解。本项目提出的一整套新理论新方法，可望充实特殊Sylvester矩阵方程理论与方法体系，研究结果将为控制器的设计和应用提供理论依据与技术支持。

特殊Sylvester矩阵方程是由标准Sylvester矩阵方程延伸出来的矩阵方程，包括耦合Sylvester矩阵方程、Sylvester转置矩阵方程、Stein矩阵方程、Karm- Yakubovich矩阵方程等。它们在控制论、信号处理和统计等领域都有广泛的应用，尤其是在控制领域扮演着重要的角色且存在丰富的理论模型。例如，在均衡器的可控可观测性问题和参量变化的稳定设计的问题中涉及到Stein矩阵方程的求解；在广义线性系统的极点配置、观察器设计、故障检测中涉及到Sylvester转置矩阵方程的求解。本课题主要研究了若干特殊Sylvester矩阵方程的数值算法和解析算法。在数值算法方面，利用CGLS迭代算法研究了广义Sylvester矩阵方程的最小二乘解、最小二乘对称解及自反解，数值例子表明CGLS-M迭代算法明显优于以往的LSQR-M迭代算法；给出了耦合Sylvester共轭转置矩阵方程的梯度基迭代算法收敛分析的一个新证明；建立了二阶Sylvester矩阵方程和大型稀疏Sylvester矩阵方程的迭代算法，阐明了影响迭代算法收敛的主要因素。在解析算法方面，主要研究了非齐次Yakubovich矩阵方程(Sylvester转置矩阵方程的对偶形式)、非齐次广义Sylvester-j-共轭四元数矩阵方程、非齐次广义Sylvester矩阵方程，确立的上述矩阵方程的的解析解表达式及可解条件；同时，探索了非齐次Yakubovich矩阵方程在广义线性系统中的极点配置中的应用，非齐次广义Sylvester矩阵方程在观察设计中的应用及Sylvester共轭矩阵方程在双共轭线性系统中的应用。按照项目申请书的要求，我们已基本完成了列出的所有内容，得到了多个创新性成果，共发表、接受 SCI、EI学术论文12篇，获得了专家和同行的好评。