应用集论方法对一般拓扑学及Domain理论中的若干问题的研究

广义度量空间理论与覆盖性质是一般拓扑学中两个重要的研究方向。这两个领域还有许多问题至今尚未解决，比如寻求单调可数仿紧空间的g-函数刻画的问题。在覆盖性质方面，D-空间与星覆盖性质近年来受到广泛的关注，产生了许多新的问题，如，正则Lindelof空间是否D-空间？星紧 Moore 空间是否可度量化？本项目围绕一般拓扑学与Domain理论的几个重要问题开展研究，主要内容包括寻求某些广义度量空间的g-函数刻画及度量化条件；对星覆盖性质与其它的一些覆盖性质之间关系的研究；对D-空间的某些性质的研究；进一步研究滤子极大理想在半连续格中的应用，对半Scott拓扑，半连续映射及半代数格，半算术格作更好的探讨。这些研究内容之间有着紧密的联系。本项目的研究将推动广义度量空间理论，覆盖性质理论和Domain理论的发展，扩大我国一般拓扑学研究在国际上的影响力。

在本项目的支持下我们围绕一般拓扑学及Domain理论中的若干问题展开研究，经过项目组成员三年的共同努力，圆满完成本项目的研究计划。在一般拓扑学方面，我们重点研究了g-函数及弱基g-函数理论，利用g-函数及弱基g-函数给出了对诸如强可展空间，r-空间，Nagata空间等某些广义度量空间的等价刻画；获得了拓扑空间可度量化的若干等价条件，改进了一些已有的度量化定理。解决或部分解决了国内外拓扑学者如林寿，李克典，Yoshioka等人提出的若干问题。此外，我们还研究了广义序拓扑空间中紧半层空间的内部刻画以及可度量化问题，部分解决了Bennett提出的的一个问题。在Domain理论方面，我们研究了偏序集上的局部极大理想、滤子极大理想在连续格与Domain中的应用，给出了偏序集上的局部弱极大理想、滤子弱极大理想及理想极大滤子的存在性定理和偏序集上弱理想的多个分解定理，这些结论改善了有关文献中的相应结果，引起国内外同行的广泛关注。三年中，项目组成员在国内外学术刊物共发表论文19篇，其中有6篇发表在“Topology and its Applications” ， “Houston Journal of Mathematics" ，及“Semigroup Froum”等 SCI及EI收录期刊上，另有7篇已被国内外重要期刊录用。