参系数分片代数簇应用基础研究

本项目对参系数分片代数簇应用基础理论进行研究，为多元样条在CAD，曲面造型等领域的发展提供理论支撑和有效算法。研究内容包括：1.不同剖分下参系数实分片代数簇关于实交点上下界和实根分类的算法；2.建立三角剖分下低次参系数分片代数曲线奇点数的上界数和分类情况，以及给出参系数分片代数曲线的奇点数达到上界时参数满足的充要条件和它在各个胞腔上具有给定的奇点数时参数所满足的充要条件；3.分析参系数分片代数簇的拓扑结构和几何特征，建立满足一定拓扑结构和光滑度的分片代数超曲面；基于上述理论，在如下应用领域展开研究：1.曲线曲面表示之间的转化，重点构造具有良好保形性质和几何特征的近似参数化和近似隐式化方法；2.参系数分片代数簇在曲面逼近造型的应用。本项目的研究将不断丰富和完善多元样条与计算几何理论及其应用体系，为几何造型提供新的工具，为分片代数几何的发展注入活力。

本项目对参系数分片代数簇(分片代数曲线)的基础理论及其应用展开研究，达到了预期的研究目标，执行情况良好，在国外重要期刊发表10余篇SCI论文，部分成果得到了同行的肯定和引用。我们取得的理论成果主要包括：1. 建立两条分片代数曲线实交点数的上界以及分片代数曲线在特殊剖分下的Bezout数；2. 建立了分片代数簇(分片代数曲线)实交点的分离算法；3. 构造具有预先给定拓扑、给定次数及光滑度的实分片代数超曲面的Viro粘合理论。基于上述理论，我们取得了如下应用成果：1.构造了一类具有插值性质的MQ拟插值算子，并将其应用到参数曲线的近似隐式化上；2. 建立了6次积分型样条插值方法的超收敛性 3. 提出了基于Bézier控制点技术求解椭圆型微分方程的最小二乘方法。