一维动力系统若干热力学机制问题的研究

Thermodynamic formalism can be described as a set of ideas and technologies brought from statistical mechanics. It is an important and fundamental tool in understanding statistical properties of dynamical systems. Since last 40 years, thermodynamic formalism has gained widespread research intersections in a number of mathematical branches including ergodic theory, probability theory, geometric measure theory, control and optimization, and computational information theory, and has become one of most active topics in modern theory of dynamical systems. In this proposal, we will address three different but related topics on applications of thermodynamic formalism for non-uniformly hyperbolic systems，ergodic optimization，and stability analysis of equilibrium states when perturbing dynamical systems. By improving the classical transfer operator approaches, we aim to:.1)develop an analogous version of Makanov-Smirnov formalism (from complex rational maps) in multimodal interval real maps;.2)answer the periodic optimization conjecture in the sense of prevalence; .3)determine the differentiability of the entropy function of quadratic family at the Collet-Eckmann parameters..A comprehensive answer to these problems will generalize the classical thermodynamic formalism developed by Sinai, Ruelle and Bowen and thus will have great impacts in both theoretical and practical viewpoints.

热力学机制的思想源于统计力学，是目前研究动力系统中轨道随时间演化的统计性质的重要工具。同时热力学机制的研究沟通了动力系统遍历论、概率论、控制优化论、几何测度论、统计物理、计算机信息论等多个领域的交叉与融合，并引起了包括菲尔兹奖获得者在内的许多世界一流的数学家、理论物理学家的兴趣。本项目主要将以非一致双曲系统热力学机制、遍历优化、平衡态测度依动力系统扰动的可微性估计为切入口，通过改良经典的转移算子谱理论，进而完成以下三个一维动力系统热力学机制问题：.1）将有理复值函数中的Makanov-Smirnov形式移植到区间多峰映射中；.2）相对完整地解决概率意义的周期最优化猜想；.3）分析二次多项式熵函数在Collet-Ecknann参数点的可微性；.这些问题的解决将使热力学机制得到更广泛的应用，进而推广由Sinai-Ruelle-Bowen发展的一致双曲系统的热力学机制理论。

热力学机制思想最早来自于统计力学。自上个世纪70年代以来由大数学Sinai、Ruelle、Bowen等并建立了一套经典的热力学机制理论来讨论一致扩张/双曲系统中的不变测度所具有的概率统计性质，并使之成为目前光滑遍历论研究中的热点课题之一。本项目以一致扩张/双曲以外的系统（特别是区间映射）作为研究对象，从遍历优化、非一致扩张区间映射的热力学机制和转移算子谱分析三个子课题分别推广和发展上述经典热力学机制理论。具体来说，我们取得了如下成果：.1.我们完整证明了Yuan-Hunt拓扑周期最优化猜想；.2.我们得到了实值多峰区间映射的Makarov-Smirnov热力学机制形式。我们还发展了一套概率耦合方法，讨论了可数分片光滑区间扩张SRB测度的存在唯一性和相关的诸如中心极限定理，几乎不变原理，大偏差等概率统计性质。此外，我们还比较了非一致扩张系统(譬如阵发系统)，当位势函数分别为SRB测度意义下可积与不可积时，所具有的渐进统计回归行为的区别。.3.我们通过发展一个双概率随机矩阵模型的谱差估计公式，对一类整乘系统复合区间置换映射后所诱导的转移算子谱差分布做了精确估计。.这些成果圆满的完成了我们预期指定的目标。