分数次广义频域变量线性系统的稳定性分析与控制

Linear systems with generalized frequency variables have been attracting increasing attention from theoretical and engineering areas due to their ability of unifying mathematical model for many types of dynamical systems. However, related research is currently limited to the case of generalized frequency variables being integer degree rational functions. The previous study of the applicant found that linear systems could describe more extensive dynamic systems, such as fractional order systems, distributed order systems and fractional order multi-agent systems, once its generalized frequency variables are generalized to be fractional degree complex functions. Therefore, this project focuses on investigating the stability analysis and control synthesis of linear systems with fractional degree rational functions as its generalized frequency variables. Firstly, the stability criterion is established by describing the intrinsic relationship between fractional degree generalized frequency variable and system matrix. Then, using the theory of linear programming and the method of numerical analysis, the existence condition of the stabilization controller and the specific design scheme are given. Finally, the robust stability criterion and robust control scheme are presented in virtue of fractional polynomial theory and inequality tools to deal with interval uncertain parameters or structural uncertain terms in fractional degree generalized frequency variables. The findings of this project not only help to develop and enrich the theory of linear systems with generalized frequency variables, but also can provide new research ideas and methods for dynamic systems with fractional order characteristics, thus have important theoretical significance and extensive application value.

广义频域变量线性系统为多类动力学系统提供了统一的数学模型，受到理论界和工程界的广泛关注，但目前该研究尚局限于广义频域变量为整数次有理函数的情形。申请人前期研究发现，广义频域变量推广为分数次复函数时能描述更加广泛的动力系统，如分数阶系统、分布阶系统以及分数阶多智能体系统。因此本项目针对广义频域变量为分数次有理函数的线性系统，围绕其稳定性分析与控制综合问题展开研究。首先，通过刻画分数次广义频域变量与系统矩阵的内在关系，建立稳定性判据。其次，运用线性规划理论和数值分析方法，给出镇定控制器存在的条件以及具体的设计方法。最后，借助分数次多项式理论以及不等式工具处理分数次广义频域变量中的区间不确定参数或结构不确定项，建立鲁棒稳定性判据和鲁棒控制方法。本项目的研究不仅有助于发展和丰富广义频域变量线性系统理论，而且可以为具有分数阶特性的动力系统提供新的研究思路和方法，具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

广义频域变量线性系统为多类动力学系统提供了统一的数学模型，受到理论界和工程界的广泛关注。当广义频域变量推广为分数次复函数时能描述更加广泛的动力系统，如分数阶系统、分布阶系统以及分数阶多智能体系统。因此本项目针对广义频域变量为分数次有理函数的线性系统，围绕其稳定性分析与控制综合问题展开研究。主要研究成果有：（1）建立了分数次广义频域变量线性系统的稳定性分析方法，给出了稳定性判据；（2）建立了分数次广义频域变量存在区间不确定参数时的鲁棒稳定性分析方法，给出了鲁棒稳定性判据；（3）基于建立的稳定性判据给出了基因蛋白调控网络循环反馈控制方法；（4）探明了由频域变量和系统矩阵刻画的稳定性条件与系统所对应的时间尺度有紧密的联系，因而进一步研究了时间尺度上的线性系统，给出了当系统的状态具有非负性约束时系统的稳定性以及Lp性能与时间尺度以及时滞大小无关的结论；（5）研究了Nabla离散分布阶系统的稳定性问题，基于Lyapunov方法给出了稳定判据。本项目不仅为研究分数次广义频域变量线性系统的动力学性质提供了研究思路和方法，而且将更多的动力系统整合到广义频域变量线性系统数学模型下进行研究，丰富和发展了广义频域变量线性系统理论，具有重要的理论意义和广泛的应用价值。