纽结与链环的染色及相关问题

In knot theory, Fox coloring is an elementary method of specifying a representation of a knot group (or a link group) onto the dihedral group. In 1999, Harary and Kauffman introduced the concept "minimum number of colors" which leads to many follow-up works. For this project, we will try to prove or disprove a conjecture on the minimum number of colors of p-colorable links with non-zero determinant. The color set and associated graph method developed by the applicant and his collaborators, and the linear algebraic method will be used in the research, combining with some graph theoretical techniques. Furthermore, we shall attempt to answer an open problem on an inequality involving crossing numbers of p-colorable knots, which raised by Nakamura, Nakanishi and Satoh.

纽结理论中，Fox-染色实际上是一种阐释纽结群（或链环群）到二面体群的表示的初等方法。1999年，Harary与Kauffman引入了纽结与链环的最小色数的概念，引发了大量后续工作。本项目试图在研究中使用申请人及合作者发展的染色集与关联图障碍方法，线性代数方法，与图论技巧相结合，证明或证伪关于行列式不为0的p-可染色链环的最小色数的猜想。进一步地，我们试图回答Nakamura、Nakanishi和Satoh提出的一个涉及p-可染色纽结的交叉指标的不等式的公开问题。

纽结与链环的Fox n-染色实际上是一种阐释纽结群或链环群到二面体群的表示的初等方法。Ralph Fox在1956年给Haverford College的本科生解释纽结理论的时候发现了这个办法（以及它的特例，3-染色），目的是“为了让这个主题能让所有人易于接受”。1999年，Harary与Kauffman引入了纽结与链环的最小色数的概念，引发了大量后续工作。对于17-可染色纽结的最小色数，我们获得一些证据表明17-可染色纽结的最小色数应当为6，并对17-可染色纽结确定了可能的6染色颜色集；对于一般素数p染色，研究中获得的证据以及同行近期的研究成果均表明，[log p]+2很可能是所有p-可染色纽结的最小色数；我们还研究了部分线性Alexander quandle染色的最小染色数问题。