带非局部项的薛定谔方程组正解的存在性及其性态研究

This project will systematically study the existence and quantitative properties of positive solutions for a class of Schrödinger system with nonlocal terms, which originates from Bose-Einstein condensation and non-linear optics. We will try to use the critical point theory and some methods of the non-linear functional analysis to prove the non-degeneracy of the least energy solution and the uniqueness of the positive solutions of the system when the potential functions are two equal positive numbers. At the same time, we will also strive to use Lyapunov-Schmidt reduction to explore the existence of synchronized or separated multi-peak solutions for the system when the potential functions satisfy some algebraic decay conditions. It is hoped that through the study of the above problems, we can discover or propose some new methods for studying non-local problems or improve existing theories and methods for researching non-local problems to promote the development of partial differential equations.

本项目将对一类带非局部项的薛定谔方程组正解的存在性及其性态展开系统的研究。拟研究的问题来源于波色-爱因斯坦凝聚以及非线性光学。我们将运用临界点理论与分析方法来证明位势函数是两个相等的正常数时方程组的极小能量解的非退化性以及其正解的唯一性；同时，我们还将借助于Lyapunov-Schmidt约化方法探究位势函数满足一定的代数衰减条件时方程组的同步、分离多峰解的存在性。希望通过研究上述问题，发现或者提出新的研究非局部问题的方法或者改进现有的研究非局部问题的理论、方法，从而促进偏微分方程研究的发展。

本项目研究一类来源于波色-爱因斯坦凝聚以及非线性光学的带非局部项的薛定谔方程组正解的存在性及其性态。主要研究内容是：1、当位势函数是两个相等的正常数时，研究方程组的极小能量解的非退化性以及其正解的唯一性；2、当位势函数在无穷远处满足一定的代数衰减条件时，研究方程组的同步、分离多峰解的存在性。在邓引斌教授的指导下，我们已经证明了：当位势函数是两个相等的正常数时，方程组的极小能量解是非退化的。对于正解的唯一性和多峰解的存在性的研究，我们得到了部分结果，但暂时还没完全讨论清楚。方程组的极小能量解的非退化性问题的解决不仅丰富了带非局部项的薛定谔方程组的研究成果，而且给出了新的研究带非局部项的薛定谔方程组正解的非退化性的思路和方法，在一定程度上促进了偏微分方程学科的发展。同时，我们还在计划外研究了一类带临界指标的双调和方程的非平凡解的存在性及其所对应的临界维现象；关于渐近p-1次幂的p-调和方程的非平凡解的存在性与非存在性，我们也得到了一些有趣的结果。