两组分玻色-爱因斯坦凝聚中的一类变分问题研究

With the development of experiments in Bose-Einstein condensation (BEC), physicists have realized two-component BEC by constraining two different kinds of Bose gases in a trapping potential well, which presents many new phenomena absent in one-component BEC. The theoretical research of such experiments has attracted many attentions of physicists, in which there exist many difficult mathematical problems that mathematicians are also interested in. This proposed research project is mainly concerned with a class of constrained minimization problems arsing in two-component BEC, which contains many parameters and is the mass-critical case as well.Our main research contents include: For some appropriate potentials, we intend to prove that there exists a threshold for the existence of minimizers; As the parameters approach to the threshold, we try to study the asymptotic behavior of minimizers by applying some blow-up analysis arguments; Especially, as for some different kinds of potentials, we also analyze how the local behaviors of the potential near its minimal point affect the blow-up rate of minimizers and the location of blow-up points.The proposed research cannot only promote our understanding for the phenomena of two-component BEC, but also contributes to the new applications of some tools in nonlinear functional analysis, such as concentration-compactness principle and blow-up analysis,et.al.

随着玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）实验的不断深入，物理学家将两种玻色子囚禁在外势阱中实现了两组分冷原子气体的BEC，并观测到单组分BEC中未曾出现的物理现象。该实验相关的理论研究备受物理学家的关注，其中涉及许多困难的数学问题，也吸引了数学家的广泛兴趣。本项目拟研究源于两组分BEC理论研究的一类约束变分问题，这类问题含有多个参数并具有质量临界的特性。我们拟研究的主要内容包括：对适当的位势函数，建立该类约束变分问题极小可达的充分必要条件，即希望确立相应参数的一个临界值，当且仅当参数在临界范围内时该类变分问题才存在可达元；当参数趋于临界值时，利用爆破分析技巧研究可达元的爆破性质，并针对几类特殊的位势函数，探讨位势函数极小值点的局部性态对可达元爆破率及爆破位置的影响。这些问题的研究不仅有助于我们加深对两组分BEC物理现象的理解，而且可以促进非线性泛函分析中诸如集中紧性原理、爆破分析等理论的新应用。

自1995年玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）首次实现以来，物理学家开展了更加系统深入的BEC实验，并发现了一些新的物理现象。BEC的理论研究中涉及许多困难的数学问题，也吸引了数学家的广泛兴趣。本项目主要针对两类与BEC相关的变分问题展开研究，讨论了变分问题可达元的存在性、集中性以及局部唯一性等性质。进一步，我们还讨论了相对论Hartree方程以及拟线性Schrodinger等方程的变分泛函可达元（基态解）的存在性以及渐近行为。具体研究内容包括：1）对源于两组分BEC的变分问题，我们研究了可达元的存在性与多个参数之间的依赖关系，并通过精细的能量估计分析了可达元的渐近行为，同时我们还利用Pohozaev恒等式技巧研究了可达元的局部唯一性；2）对源于单组分BEC的变分问题，我们在较为一般的位势条件下证明了可达元的爆破现象，并针对完全退化位势情形计算了可达元的爆破率；3）对源于玻色星模型的相对论Hartree方程，我们利用Ekeland变分原理等办法证明了位势的衰减速度会影响基态解的存在性，并讨论了基态解的质量集中现象，从数学角度解释了大质量恒星凋亡时会发生质量坍塌现象；4）讨论了Schrodinger-Poisson方程以及拟线性Schrodinger等方程基态解的存在性与渐近行为。.通过本项目的实施，我们归纳整理了一套研究含质量临界项的泛函约束极小化问题可达元存在性与渐近行为较为普适的方法，并将之应用到几类重要的物理模型研究中，得到了一些新的数学结果，并从理论上解释了一些物理现象。