微分方程的群不变结构解的存在性

The qualitative theory of differential equations in the scientific fields has many applications. Many practical problems can be transformed into the study of the properties of solutions of differential equations. For example, many electronics, automatic control device , ballistic trajectory calculation, the stability study of aircraft and missile flight , the stability researcg of chemical reaction process and so on. In the study of differential equation qualitative theory, there are some important results. Such as Massera criteria and Yoshizawa theorem. Many results focused on the existence of periodic and anti-periodic solutions for differential equation. As a matter of fact, these solutions can be viewed as the solutions with group symmetries or group -invariant solutions.So far, there are few of results on the existence of solutions with invariant group structure for differential equations This project is going to research the existence of solutions with group-invariant structure for differential equations by adopting the methods of Lie group and topological degree theory. We want to get the following the results. Massera criteria with group-invariant structure for differential equations ,Yoshizawa theorem with group-invariant structure for differential equations,and the continuity theorem corresponding to the classic Mawhin coincidence degree theoremn with group-invariant structure for differential equations.

微分方程定性理论在科学领域有着广泛的应用。自动控制、各类电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等问题都可以转化为研究微分方程解的性质问题。在微分方程定性理论的研究中有一些重要结果，如著名的Massera准则、Yoshizawa定理等。这些结果多集中在各类微分方程周期解的存在性这一方面。近年来对反周期解的研究在逐渐增多。实际上这些解都可看作方程具有某种群对称性或群不变性的解。迄今，对于微分方程具有群结构解的研究还知之甚少。 本项目拟采用Lie群理论和拓扑度理论来研究微分方程具有一般的群不变结构解的存在性。包括研究具有群不变结构解的Massera准则；群不变结构下的耗散性定理；以及对应于经典的Mawhin重合度定理建立具有群不变性结构的连续性定理。

物体运动的对称性是自然界普遍的现象，对于具有对称结构的系统的研究一直是微分方程定性理论研究的重点在众多领域有着广泛的应用。已有的很多的著名结果多是对确定的周期系统，对一般的对称系统研究不多。本项目主要研究微分方程的具有一般群不变结构解的存在性问题，利用拓扑度理论、不动点定理和上下解方法找出系统存在对称解的存在性条件，构造出解决这类问题的拓扑度理论框架，并给出一些实际意义上的应用。在对问题的具体研究过程中我们重点考虑一般的对称系统，对m 阶的非线性仿射周期系统和旋转周期系统展开研究，给出系统存在一般的仿射周期解的条件和旋转周期解的条件，类似于著名的Massera准则。在对问题的研究过程中，我们对周期解问题，几乎自守解问题和发展包含的解的存在性问题等很多方面进行了更进一步的探讨，这是我们研究对称问题的基础。我们已经取得的部分成果发表在《Journal of Differential Equations》、《中国科学》、《Journal of Optimization Theory and Applications》、《Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series S》。