可分非线性约束最小二乘问题的高性能算法与理论及在图像处理中的应用

可分非线性约束最小二乘问题在图像恢复、核磁共振波谱信息模型处理以及不适定反问题数值求解等问题中有着重要的应用背景. 对此问题的高性能算法研究不仅具有重要的数学理论意义，而且具有重要的应用价值.. 本项目主要基于可分非线性约束最小二乘问题的特殊结构，如目标函数变量的可分性、矩阵的稀疏性和病态性，研究其各种高性能内点型算法和正则化算法，并对算法在图像处理、不适定反问题的求解等实际问题中的应用进行研究.具体为（1）在有界约束条件下，研究可分非线性最小二乘问题的高性能内点型拟Newton算法和拟Newton-HSS内外迭代算法. (2)根据适当的预处理技术或其它修正方法，对严重病态或者解是退化的可分非线性约束最小二乘问题建立有效的正则化内点型迭代算法. (3) 根据图像处理和不适定反问题数值求解的具体要求，编制相关算法的应用程序，并依据应用效果对算法进行必要的修正与完善.

本项目围绕可分非线性约束最小二乘问题所研究的非负约束最下二乘问题、正则化下的变分问题及乘法噪声问题以及相关的线性系统求解问题在图像恢复、核磁共振波谱信息模型处理以及不适定反问题数值求解等问题中有着重要的应用背景. 对这些问题的高性能算法研究不仅具有重要的数学理论意义，而且具有重要的应用价值..本项目主要主要研究了以下几个方面的问题：首先，对非负约束最小二乘及相关问题进行了研究。我们先将原问题系数矩阵进行适当的列分块，然后将问题化为一系列Gauss-Seidel迭代型的子问题，然后利用已有的fnnsl、fcnnls等方法对这些子问题求解，从而建立了有效的Gauss-Seidel迭代型杂交算法。作为非线性优化问题的一个基本子问题，我们对二次优化问题提出了一类新的修正Barzilai –Borwein梯度算法，并研究了该算法的收敛性。其次，我们对原非线性约束最小二乘问题模型做了适当的修正，提出了一些新的变分模型，并利用Newton迭代法或预处理技术方法进行图像回复。具体考虑了一个非线性的半二次正则化图像恢复模型问题 min⁡〖|(|Ax-b|)|_2^2 〗+βf(x), 的求解问题，在Newton型方法的基础上，提出了求解该问题的一个基于分解的有效预处理共轭梯度法。另外，我们考虑了两个非线性的乘法噪声模型问题及其求解算法；数值试验表明上述各去噪模型算法可以达到很好的图像去除噪声的想过。最后，我们研究了非线性约束最小二乘问题求解中涉及的一些线性系统的有效迭代算法及预处理技术，图像处理及其它应用数值试验表明这些算法及预处理技术是非常有效的。