图的线性参数和匹配多项式研究

This project is intended to research various linear indexes and matching polynomials of graphs, whose major contents are: (1) The graphs whose ranks of adjacent matrixes are specific integers will be characterized; the graphs which have extreme positive (or negative) inertia indexes will be also characterized; in addition, the relation between the construction of graphs and the signature difference will be researched, while the linear indexes of some special graphs will be also calculated; the laws between transformation and operation of graphs and linear indexes will be found out; moreover, the relation between linear indexes and other parameters of graphs will be researched, the distribution laws of graphs' eigenvalues which locate at -1 and around of -1 will be researched; spectra equivalent graphs of some graphs and spectra unique graphs will be also discribed, etc. (2) The graphs whose number of positive matching roots is a specific integer will be characterized; the distributions of the 2nd and 3rd large matching roots and the smallest, the second smallest positive matching roots will be studied; the characters of graphs whose matching roots are all single roots will be researched; the matching equivalent graphs of some graphs and matching unique graphs will be also described; furthermore, the matching polynomials of some special graphs will be calculated, and the laws between transformation and operation of graphs and their matching polynomials will be also searched, etc. (3) Other problems and applications related to the above two issues will be also researched.

本项目拟研究图的各种线性参数和匹配多项式, 主要内容是：（1）刻画邻接矩阵的秩是特定整数的图； 刻画带有极端正（负）惯性指数的图；研究符号差与图的结构之间的关系以及特殊图类的线性参数的计算；寻找图的各种变换及运算与图的各种线性参数之间的规律；找出图的线性参数与其它参数之间的相互联系；研究图的特征值在-1及其左右的分布规律； 刻画某些图的谱等价类，寻找谱唯一图等。（2）刻画恰有特定整数个正匹配根的图； 研究图的第二、第三、最小、次小正匹配根的分布；研究所有匹配根都是单重根的图的性质；刻画某些图的匹配等价图类，寻找匹配唯一图；研究特殊图类的匹配多项式的计算，寻找图的各种变换和运算与匹配多项式的规律等。（3）研究与前两个研究目标相关的其它问题及应用。

设G是一个n阶图， G的邻接矩阵特征值的全体构成G的谱. 在谱中正特征根的个数、负特征根的个数、非零特征根的个数分别称为G的正惯性指数、负惯性指数和秩，分别记为p(G), n(G)和r(G), 统称图的线性参数（或惯性指数). 所有特征值的绝对值的和称为图的能量. 图的秩与图所表示的化学分子的稳定性有关，正（负）惯性指数与图的完全多部（二部）图分解和星分解有关，图的能量近似地等于图所表示的碳氢化合物的π-电子能量水平. 在本项目中我们证明了p(G) 不大于图的完全多部图边分解数; 刻画了p(G)=n-2 的图; 刻画了n(G)≤2 的图; 刻画了n(G)≤3 的带有悬挂点的图; 计算了许多图运算的能量，找到了许多等能量图; 计算了一类特殊图的惯性指数; 计算了秩为4的图的特征多项式，找到了许多谱等价图对.. 在统计物理上, 匹配多项式是描述一种物理系统的数学模型. 在理论化学中, 匹配多项式的根的绝对值的和称为该图的匹配能量, 它与这个图所表示的芳香烃的活性有关. 它的所有系数的绝对值的和就是这个图表示的碳氢化合物的Hosoya指标, 它与这个图所表示的化合物的沸点有关. 在本项目中我们研究了θ- 图、“8—”字图和 Q-图的匹配能量和Hosoya指标的完全排序， 刻画了在这些图类中匹配能量（Hosoya指标）取得极值的图； 给出了匹配最大根不大2的图匹配等价的一个充要条件； 计算了一类图的匹配等价图的个数；作为应用对满足一些不等式条件的置换进行了计数.. 用广义连通度、毁烈度、边毁烈度以及复杂度研究了图的连通性; 也研究了图含有偶因子的若干条件; 对每一个有限拓扑定义了一个有向图表示，并研究了二者之间的关系.. 项目共发表论文35篇，出版专著1部.