一类稳态Schödinger-Poisson-Slater方程标准化解的研究

Stationary Schödinger-Poisson-Slater equations stem from the study of systems of many particles in Quantum Mechanics, which are a class of nonlinear Schrödinger equations with nonlocal term. This program is devoted to study the existence and related properties of one special kind of solutions to the equations. Such kinds of solutions whose L2 norm is prescribed, are called normalized solutions, which have some physical background. Normalized solutions to the equations correspond to critical points of their energy functional on a constrained manifold. In such case, the parameter λ in the equations is not fixed any more and appears as a Lagrange Multiplier. Up to the moment, the studies of normalized solutions for Schödinger-Poisson-Slater equations are rare. Based on the existing results, we shall applying the constrained variational methods, Mountain Pass Theorem and related methods, study further the existence of normalized solutions of Schödinger-Poisson -Slater equations with different nonlinearities. In particular, the relationship between the existence and related parameters will be investigated.

稳态的Schödinger-Poisson-Slater方程源于量子多体系统的研究，是一类含非局部项的稳态非线性Schödinger方程。本项目主要研究该方程一类特殊解的存在性及其相关性质。该类解的L2-范数是给定的，我们称之为标准化解（Normalized solutions），这类解具有一定的物理意义。方程的标准化解对应于其能量泛函在约束流形下的临界点。此时方程中的参数λ则以Lagrange乘数的形式出现。目前国内外对该类方程标准化解的研究结果并不多，本项目拟在已经获得的部分研究结果基础上，采用约束变分理论，结合山路定理等方法，深入研究该类方程在不同非线性条件下其标准化解的存在性及其性质，特别是解的存在性对相关参数的依赖关系。

稳态的Schrödinger-Poisson-Slater方程源于量子多体系统的研究，是一类含非局部项的非线性Schrödinger方程。该项目中，我们主要研究该方程L2范数给定的解（称之为标准化解normalized solutions)的存在性、多样性及其渐进行为。从已有研究结果来看，该方程标准化解的存在性严格依赖于参数2<p<6。我们首先在非线性项超临界增长的时候（即p>10/3），建立了部分Liouville类型结果，排除了某些情形下Lagrange乘子为0的可能，从而根据[BJL]的结果得到部分解的存在性。其次，对于次临界增长的情形，我们建立了在参数3<p<10/3时，能量泛函在L2约束流形下的一个Mountain Pass结构与一个局部极小结构，该结构的建立有望证明标准化解的多样性，即山路解与局部极小解。但由于对应的Palais-Smale序列的紧性困难未能解决，故多样性结果仍未能最终得以证明。与此同时，我们还证明了在2<p<6的情形下，基于标准化解存在的前提，标准化解（不一定是全局极小类型）的渐进行为。即在参数c>0充分大或充分小时，Schrödinger-Poisson-Slater方程标准化解收敛为对应Schrödinger方程（即没有非局部项）的基态解。所得结果进一步完善了该方程标准化解的研究，同时所提出的新的研究方法也有望解决其他类似L2约束变分问题。