基于非齐次多项式测度的重分形分析

The multifractal analysis of measures aims at building a bridge, by which one could connect the Hausdorff dimension of level sets of local dimension of the measures to the Legendre transform of some free energy functions. As a non-trivial extension of Bernoulli measures, the inhomogeneous multinomial measures possess free energy functions with compact and symmetric expression and are well adaptable. This project plans to conduct a systematical and complete research on the multifractal analysis based on the inhomogeneous multinomial measures. By innovatively investigating the weak doubling property, the refined multifractal formalism, and transforming problem of operators into that on the mixed symbolic space, we focus ourselves on the following three questions: (1) as a non-doubling measure, whether or not the image measure from the symbolic space onto the real line by natural projection inherits the property of the original one; (2) relation between the multifractal formalism and Taylor regularity condition; (3) multifractal analysis of a class of density of states measures of Sturm Hamiltonian. Interrelated though relatively independent, these questions have strong theoretical spirit as well as clear physical meaning. Upon full completion, a better understanding of this field will be achieved and it will help lay the foundation for multifractal analysis of general measures with its applications.

测度的重分形分析旨在建立一座桥梁，将该测度的支撑集当中所有局部维数为某定值的点所构成水平集的Hausdorff维数，和某些自由能函数的Legendre变换联系起来。作为Bernoulli测度的非平凡推广，非齐次多项式测度具有简洁对称的自由能函数和广泛的适应性。本项目拟以非齐次多项式测度作为切入点和着力点，对测度的重分形分析加以系统而全面的研究，并通过创新性地考察弱加倍性质，精细的重分形机理，以及把算子的问题归结到混合符号空间上，重点探究三个问题：（1）作为非加倍测度，从符号空间到实数域上由自然投影产生的象测度是否继承原测度的性质；（2）重分形机理与Taylor正则性条件的关系；（3）一类Sturm哈密尔顿算子的状态密度测度的重分形分析。这几个问题相对独立又相互关联，理论性很强，同时兼具明确的物理意义；全部完成后，将大为丰富对本领域的理解认识，并奠定对最一般测度重分形性质及其应用的研究基础。

重分形分析属于分形几何与几何测度论中关注度很高的领域。作为一个交叉性前沿学科，它本身源自于物理学，引入数学方法后又有了其独立的意义，研究中涉及的专业知识包括分析、概率、动力系统和遍历理论、维数理论等等，而凭借精细的分析技巧和深刻的几何观察，许多重要的方法或结果又可以广泛应用到其他领域。本项目重点研究了以下三方面内容。第一，非加倍测度的重分形分析。在测度从符号空间到实数轴非加倍投影的研究中，我们提炼出弱加倍性质这样一个关键的因素。我们给出了弱加倍性质成立的一个充分条件，详细研究了弱加倍性质如何影响像测度的继承性，进而给出了非齐次多项式测度自然投影的完整重分形分析。以非齐次多项式测度作为切入点和着力点，一定程度上促进了非加倍测度重分形分析的研究工作。第二，建筑在觅食者-掠夺者模型上一类偏微分方程组解的存在性、有界性、光滑性，以及渐进行为。在经典的Keller-Segel模型之上，我们综合考虑了以下诸多因素的叠加：两个物种均带有logistic增长项，食饵则被两物种非线性消耗，并且两物种食饵消耗率的非线性参数也不相同。我们论证了在非负初值和零Neumann边界条件下，只要两物种食饵消耗率的非线性参数满足一定条件，就能保证系统的古典光滑解存在且全局有界。第三，类自相似集的研究。我们给出了类自相似集的性质，定义了类自相似集的生成集和最小生成集，分析了生成集的结构和特点，论证了类自相似集的维数与其生成集维数之间的关系；特别地，把测度的重分形分析作为子问题嵌入到了上述系统中。通过进一步的深入研究，有望在理论和应用方面、特别是维数的计算和估计问题上，形成新的研究方法和研究工具。