超平面构形的拓扑与组合学研究

超平面构形(hyperplane arrangements）是有限维线性空间V中有限个超平面的集合A,是一类有非孤立奇点的超曲面.当V是复线性空间时,A在V中的余集C的拓扑结构与A的相交偏序集L(A)的组合结构及两者的关系是这一领域的主要研究内容.我们主要研究:1)用组合与代数方法计算C的拓扑不变量.比如, 用组合的方法计算各类构形A的特征多项式、Orlik-Solomon代数OS等，因为C的上同调代数与OS同构; 2)作为分次代数OS的上同调的计算及其与C的拓扑的关系; 3)C的基本群及相关问题,比如M.Falk提出的基本群的下中心序列的秩φ_k及其组合学解释这一开放问题;4)沿A的对数导子模D(A)的代数结构,如极小生成元集合,自由性等.最近20年来,申请人在OS及其上同调,C的拓扑不变量, Falk的φ_k问题,自由性等方面都开展了研究,得到了一些成果,并发表在国内外核心期刊上.

超平面构形(hyperplane arrangements）是有限维线性空间V中有限个超平面的集合A,是一类有非孤立奇点的超曲面。当V是复线性空间时，A在V中的余集C的拓扑结构与A的相交偏序集L(A)的组合结构及两者的关系是这一领域的主要研究内容。这一领域的研究涉及到了代数几何学、拓扑学、几何学、微分方程、组合数学等现代数学的许多分支。因此，这一研究领域引起了数学工作者的兴趣，并不断有新的结果产生。. 本项目主要研究了一下内容：. 1）用组合、代数和几何方法计算C的拓扑不变量。比如， 用组合的方法计算各类构形A的特征多项式、Orlik-Solomon代数OS等，因为C的上同调代数与OS同构，而OS的Poincare多项式与A的特征多项式可以互相转变。以特征多项式的计算为例，我们给出了几何算法和代数算法。几何算法对低维构形特别有效，而代数算法对一般构形有效并能够及其实现。另外对相交偏序集及其中元素的Möbius函数值的计算，也给出了有效算法并可程序化。由这些计算可以直接知道OS的各个其次分支作为向量空间的维数。同时，对低维空间中平面个数较少的构形进行了分类。. 2）C的基本群及相关问题。基本群的计算比较难，我们利用组合的方法，对M.Falk提出的基本群的下中心序列的第三个秩φ_3（以下称为Falk不变量）及其组合学解释这一开放问题开展了较深入的研究，对带符号图构形的给出了组合学解释。同时，对许多构形计算了Falk不变量，得到了一些成果，还利用Falk不变量作为不变量，对较低维数的构形进行了分类。并发表或即将发表在国内外核心期刊上。.　　3）关于超平面构形的自由性，我们做了一些尝试性的研究，得到了一些结果，比如，有限反射群的可约性。. 4）本项目还尝试在化学中的一些计算研究。主要研究限定介观空间内分子的分布规律。比如纳米管中原子的分布问题。采用基于晶格模型的密度泛函理论，对非均匀气液成核和纳米颗粒在气液界面的稳定性进行了数学模拟。同时采用超平面构形理论，对相关对象进行了计算。比如，把碳纳米管看成图构形，计算了这类构型的Tutte多项式。