基于框架理论的非均匀傅立叶数据处理方法

In several imaging applications, such as magnetic resonance imaging (MRI) and synthetic aperture radar (SAR), data are finitely sampled in the Fourier domain. In general, non-uniform Fourier data might be easier to collect than uniform Fourier data. That is, we might be able to collect more non-uniform Fourier data in a fixed amount of time. However, it is much more challenging to process non-uniform Fourier data and the standard techniques for uniform Fourier data processing could not be directly applied. We will propose a frame theoretic approach of non-uniform Fourier data processing and develop accurate and efficient numerical algorithms accordingly. In particular, we will work on two fundamental problems with non-uniform Fourier data: approximation and edge detection of piece-wise smooth functions. Moreover, we will also plan to develop fast numerical algorithms for 1D and 2D non-uniform Fourier data and apply them in many practical imaging problems.

在很多与图像有关的实际问题中，比如核磁共振（magnetic resonance imaging）和合成孔径雷达（synthetic aperture radar），采集到的数据都是傅立叶数据。相较于均匀傅立叶数据，非均匀傅立叶数据往往更易于采集。也就是在相同时间内，我们往往能采集到更多的非均匀傅立叶数据。虽然节省了采集时间，但是非均匀傅立叶数据给数据的处理带来更大的挑战。传统的处理均匀傅立叶数据的方法大多不能直接应用于非均匀傅立叶数据。本项目计划利用框架理论的工具来建立非均匀傅立叶数据处理的数学基础，并基于这个理论基础提出高精度的算法。我们将具体研究非均匀傅立叶数据处理里面的两个基本问题：分片光滑函数的重构和边缘确定。此外，我们还将专门针对一维和二维非均匀傅立叶数据提出快速算法，并推广其在实际图像处理问题中的应用。

本项目致力于研究从一个未知不连续函数的非均匀傅立叶数据中来确定其不连续边界以及该函数重构的问题。本项目的背景是基于非均匀傅立叶数据在很多图像问题，比如核磁共振(magnetic resonance imaging)和合成孔径雷达(synthetic aperture radar)中都有很广泛的应用。我们主要是利用架理论的工具来建立非均匀傅立叶数据处理的理论基础。针对非均匀傅立叶数据的边界确定问题，我们发展了聚集因子（concentration factor）方法，并提出怎么选择聚集因子的可容许条件。其次，对于非均匀傅立叶数据的函数重构问题，我们提出了一套混合重构方法。该方法结合了函数的边界信息，从而可以在靠近边界区域和远离边界区域都能达到指数收敛精度。我们也将这些方法应用到一些具体的图像问题并取得了很好的实际效果。