若干逼近问题的适定性研究

本项目围绕向量值函数空间、Bregman距离意义及测地空间这三种框架下逼近问题的适定性展开研究：首先通过对最佳逼近唯一性的严格Kolmogorov条件刻画的分析和研究，给出多元逼近问题最佳逼近唯一性的严格Kolmogorov条件刻画，建立多元逼近问题的适定性和严格Kolmogorov条件之间的内在联系；其次通过对Bregman距离函数自身性质的分析，建立Bregman距离意义下(广义)最佳逼近问题的适定性结论；最后通过综合运用测地空间理论、泛函分析及逼近理论等，建立测地空间中不依赖于距离凸性的相关逼近问题的适定性结论。这三种框架下的研究主旨相通，但研究方法和技巧又各有异同。本项目的开展将为适定性研究提供新方法和新思路，其研究成果可为求解Banach空间及流形上的数值计算、图形处理等问题提供必要的理论依据。因此本项目无论是在理论上还是在应用前景上都有重要的研究价值和学术意义。

本项目以适定性为主线，研究了不同框架下逼近问题的适定性：研究建立了测地空间中相互逼近问题及相互远达问题的不依赖于距离凸性的适定性结论；研究空间Lp(Ω,Σ,X) 中的最佳同时逼近问题，建立了相应的存在性结论；研究了Banach空间中非扩张集值映射的不动点的存在性及其不动点集的拓扑结构，建立了相应的多孔性结论；研究广义压缩集值映射，建立了Hyperbolic空间中有关非扩张集值映射和广义压缩集值映射的多孔性结论；提出了求解一般非线性算子方程的Ulm类方法并给出了其收敛性分析，建立了相应的收敛阶，给出了收敛球半径的估计；研究了hyperbolic空间中非扩张集值映射的不动点的存在性及其不动点集的拓扑结构，建立了相应的多孔性结论；研究了多元逼近问题唯一性元与严格Kolmogorov条件的关系，给出了唯一性元的SK性质刻画；研究了Banach空间中优化问题的弱锐极小问题，给出了凸优化问题的全局弱锐极小、局部弱锐极小及有界弱锐极小的等价刻画；研究了Bregman距离下的逼近问题。课题组总体上基本按照原定计划开展研究，同时还加强了相关问题的研究，但研究过程中，在执行的先后顺序和原定计划有所调整。