三维空间中KGM方程和带BI理论的KG方程的可解性研究

In this project, under the electrostatic case, we mainly study the existence of solitary waves of the KGM equations and solitary waves of the KG equations coupled with BI theory under the second order expansion with external potential, enrich and complement the well-known results. By using variational methods, our main contents are as follows: 1) Under more general superlinear growth of non-linearity, we study the existence of ground state solitary waves solutions for the KGM equations by using generalized Nehari manifold; 2) We study the existence of solitary waves for the KGM equations with asymptotically linear growth non-linearity by using mountain pass theorem and generalized weak linking theorem and so on; 3) We study the existence of nontrivial solitary waves for the subcritical growth and critical growth KGM equations with zero mass by using the mountain pass theorem in combination with concentration-compactness principle, Nehari manifold and some analysis technologies; 4) we study the existence and multiplicity of solitary waves for the KG equations coupled with BI theory under more general growth conditions by using linking theorem, concentration-compactness principle and generalized weak linking theorem. The KGM equations and the KG equations coupled with BI theory is a model for the interaction of matter with the electromagnetic field with gauge theories and have strong physical background. By proposing and solving the problems in the project, it will help to deepen the studies of field equations, and it will extend applications of this theory to related fields.

本项目研究静电场下带有外位势函数的KGM方程及包含二阶扩张BI理论的KG方程的非平凡孤立波的存在性和多重性问题，丰富完善已有结果。利用变分方法我们考虑如下内容：1)利用广义Nehari流形方法研究非线性项具有更一般超线性增长的KGM型方程，获得基态解的存在性；2)利用山路定理、广义弱环绕定理等工具研究非线性项具有渐近线性增长的KGM方程解的存在性和多重性；3)利用山路定理、集中紧性原理、Nehari流形及分析技术研究非线性项次临界和临界情形下零质量的KGM方程孤立波解的存在性；4)利用环绕定理、集中紧性原理及广义弱环绕定理等工具研究非线性项满足更一般增长条件下带BI理论的KG方程解的存在性与多重性。KGM方程和带BI理论的KG方程是规范场下物质和电磁场作用的物理模型，具有很强的物理背景。本项目中问题的提出和解决，将有助于深化有电磁场作用的场的研究并拓展该理论在相关领域中的应用。

本项目主要研究静电场下带有外位势函数的KGM方程及包含二阶扩张BI理论的KG方程的非平凡孤立波的存在性和多重性问题。KGM方程和带BI理论的KG方程的模型来源于在规范场框架下物质和电磁场相互作用产生的场方程。在这类方程解的所有类别中，我们感兴趣的是孤立波。这种类型的解在理论分析中起着至关重要的作用，特别是当这样的解表现出强有力的稳态形式时我们可以获得孤立子。孤立子拥有粒子状的行为，在数学物理的许多方面，如经典和量子场论，非线性光学，流体力学和等离子物理中都大量出现。因此，此类方程及其相关模型的研究是人们一直关心的课题。由于KGM方程和包含BI理论的KG方程都是一类带非局部项的椭圆方程，所以我们在项目实施过程中对于三类带非局部项的方程进行了系统的研究。我们分别在KGM方程非线性项是次临界增长下多个解的存在性、具有消失位势情形下多个解的存在性获得了结果。对于基尔霍夫方程我们研究了类似的问题，但是我们进一步研究了次临界增长情形下无穷多个变号解的存在性问题，统一了以前的结果。最后对于分数阶方程我们分别在非线性项是次临界，临界和可能超临界情形下获得多个解的存在性，对于临界情形我们还研究了无穷多个变号解的存在性结果。在本项目中，我们借助于对KGM方程、基尔霍夫方程和分数阶方程等相关椭圆方程研究的视角和方法，逐步深入认识和发掘新的研究方法与技巧来开展本项目的研究。上面所论述的成果所以均已发表。通过对该项目的研究，将有助于加深对场方程的研究，并将此理论的应用扩展到相关领域。