Galois方法在数学物理问题中的应用

In early 19th century, in order to solve the problem of radical solvability of general polynomial equations, Galois established the famous Galois theory. From that on, people kept trying to study the integrability of differential equations with similar methods as the Galois theory.Following this way, a series of important results have been obtained: Lie established the Lie group theory for differential equations, Picard and Vissiot got the differential Galois theory for integrability of linear differential equations, which is also called the Picard-Vissiot theory; in the end of last century, Morales and Ramis used differential Galois approach to get an effectual integrability theory for complex analytic Hamiltonian system, which is now widely applied to study the integrability of the various mathematical and physical problems; recently, we used the Galois method to get a similar integrability theory for general nonlinear systems. In this project, we will use the Galois method to study the relationship between the non-integraility and complex behavior for several classes of mathematical and physical problems (in particular the Hamiltonian systems), meanwhile, we will also try to take advantage of the Galois method to study the non-integrability of a class of infinite dimensional evolution equations and Painlevé equations.

19世纪初，Galois为解决一般多项式方程的根式可解性而建立了著名的Galois理论。随后，人们不断尝试运用类似的方法研究微分方程的积分可解性,并取得了一系列重要结果： Lie建立了微分方程的 Lie群理论，Picard与Vissiot等人建立的关于线性微分方程的微分Galois理论等；上世纪末，Morales与Ramis等人利用Galois方法建立了复解析Hamilton系统的可积性理论，并被广泛地应用于研究各类数学物理问题的可积性及相关问题；最近，我们利用Galois方法对一般非线性系统给出了类似的可积性理论。本项目中，我们将利用Galois方法研究几类数学物理问题(特别是Hamilton系统)的不可积性与复杂行为之间的关系，同时尝试利用Galois方法研究一类无穷维发展方程及Painlevé方程的可积性及相关问题。

19世纪初，Galois为解决一般多项式方程的根式可解性而建立了著名的Galois理论。随后，人们不断尝试运用类似的方法研究微分方程的积分可解性,并取得了一系列重要结果： Lie建立了微分方程的 Lie群理论，Picard与Vissiot等人建立的关于线性微分方程的微分Galois理论等；上世纪末，Morales与Ramis等人利用Galois方法建立了复解析Hamilton系统的可积性理论，并被广泛地应用于研究各类数学物理问题的可积性及相关问题；在前期工作中，我们利用Galois方法对一般非线性系统给出了类似的可积性理论。本项目中，我们利用Galois方法研究Painleive方程的不可积性，揭示了Painleve性质与不可积性之间的密切关系，同时我们还系统考虑了一类发展方程可积性问题，给出了相应的可积性定义以及微分Galois处理方法，揭示了不可积性与复杂性之间的联系，最后还运用不变流形理论完善了可积性的动力学分析理论。