关于代数体函数特性的研究

The family of algebroid functions is a generalization of meromorphic functions''. It is the most basic multi-valued function in the complex plane, and is a single-valued function in the Riemann surface. Many characteristics of algebroid functions are different from meromorphic functions'', such as the implicit function property, the multi-valued property, the complexity of branch points and so on. Because of these characteristics, the study on the function was in a state of the bottleneck. In 2006, Sun and Gao investigated the operations of algebroid functions, and they improved their results in 2010. This marks the algebroid function development to a new stage. This project based on the platform studies the branch point''s property of algebroid functions and the reducibility of algebroid functions by using the value distribution theory, covering surface theory and the traditional analysis method, and combining the modern mathematics software. The expected research results will further improve the value distribution theory of algebroid functions. In addition, algebroid functions have important applications in many branches of mathematics, such as the analytic theory of differential eqation, the Riemann surface theory and the dynamic system of multi-valued analysis mapping. Therefore, the research on algebroid functions can help to blend and development among disciplines, and lay a theoretical basis for the practical applications.

代数体函数是较亚纯函数更广泛的函数类，是复平面上最基本的多值函数，也是黎曼曲面上的单值函数。它有许多不同于亚纯函数的特性，比如它的隐函数性、多值性及分支点的复杂性等，也正是由于这些特性，使得对其研究一度处于瓶颈状态。2006年，孙道椿与高宗升对代数体函数的运算做了相关研究。2010年，他们又对此做了完善。这标志着代数体函数发展到了一个新的阶段。本项目将以此为平台，运用值分布理论、覆盖曲面理论及传统的分析方法，再结合现代数学软件，除了研究代数体函数分支点的性质外，再研究它涉及的另一新特性：可约性。本项目的预期研究成果能进一步完善代数体函数值分布论。另外，代数体函数在微分方程解析理论、黎曼曲面理论、多值解析映射动力系统等数学分支中都有重要应用。因此，对代数体函数的研究还有助于学科间的交融与发展，为实际应用奠定一定的理论基础。

本项目主要对代数体函数的可约性(一个新的特性)、分支点及非线性方程进行了相关研究。. 在代数体函数可约性方面，研究了可约代数体函数的基本定理及复合后代数体函数的可约性。主要研究结果：1. 探讨了可约代数体函数的单值解析分支与分支点，论证了代数体函数的第一、二基本定理及对数导数引理对于它同样成立。2. 给出了复合后代数体函数的可约性与原代数体函数的可约性相同的充分条件，由此可说明代数体函数的导数与它的可约性相同。研究成果1是基础性的研究，为更广泛地研究代数体函数创造了方便，为利用代数体函数的运算为工具研究其唯一性问题奠定了理论基础。. 在代数体函数分支点方面，探讨了计算代数体函数展开式的方法以及什么样的临界点能形成分支点。主要研究结果：1. 说明了不能借助求导的方法得到代数体函数在一般临界点的展开式，为运用定量的方法进一步研究分支点起到了辅助作用。2. 讨论了一类代数体函数在的临界点的展开式，说明了借助软件Matlab得到展开式的步骤，并给出了具体例子。本项目在此的研究打破了以往只定性讨论分支点的传统思路，另一个特色在于利用现代数学软件来解决基础的理论问题，可为同行提供借鉴和经验。. 在非线性方程方面，主要研究了一类非线性差分微分方程，证明了该类方程不存在有限级的整函数解。当该类方程满足某种形式时，它的解就是代数体函数。. 总体来说，本项目的研究成果能进一步完善代数体函数的值分布论，且有助于代数体函数与微分方程学科间的交融与发展。