局域势场中复杂量子体系分数阶模型的改进与求解及应用研究

The fractional quantum mechanics，governed by the fractional Schrödinger equation derived from the Lévy path integrals, can describe more extensive complex quantum systems in nature. However，the existing fractional Schrödinger equation, containing the nonlocal Riesz fractional derivative defined by Fourier transform, can not be applied to study the widespread local potentials in practical problems. This restricts the development of the fractional quantum mechanics. In this project, we plan to improve the existing model of the fractional quantum system, and then apply the results to study the complex scattering problems. The main innovative points of this project are given as follows:.(1) For the one and high dimensional local potentials problems, considering the topological restrictions of the local potentials to the moving particles, we plan to develop the Lévy path integrals and corresponding fractional Schrödinger equation adapted to particles in local potentials, to overcome the restrictions of the existing path integrals and fundamental equation, and also give the methods to solve the new equation..(2) Based on the new fractional equation, using the fractional Green’s function theory, we will construct the fractional Lippmann-Schwinger equation and the fractional scattering theory for local potentials. The calculation model, which is more accurate than the integer-order cases to describe the complex scattering behavior, will be developed. The physical supports to the fractional quantum mechanics will also be provided by experimental verification.

分数阶量子力学由建立在Lévy路径积分基础上的分数阶薛定谔方程所表述，刻画自然界中更广泛的复杂量子体系。但现有的分数阶薛定谔方程包含由Fourier变换定义的非局部Riesz分数阶导数，无法应用于实际问题中普遍存在的局域势场，制约了当前分数阶量子力学的发展。本项目拟改进分数阶量子体系的现有模型，并应用于复杂量子散射问题的研究。主要研究内容和创新点如下：.(1) 拟针对一维及高维局域势场，考虑势场对粒子运动的拓扑限制，建立适应于局域势场中粒子的Lévy路径积分和相应的分数阶薛定谔方程，突破现有的路径积分及基本方程难以应用于局域势场的限制，并给出新方程的求解方法。.(2) 拟在新方程的基础上，利用分数阶格林函数理论建立局域势场的分数阶Lippmann-Schwinger方程及分数阶量子散射理论，构建比整数阶理论更为准确刻画复杂散射行为的计算模型，并通过实验验证为分数阶量子力学提供物理支持。

分数阶量子力学由建立在Lévy路径积分基础上的分数阶薛定谔方程所表述，可刻画自然界中更广泛的复杂量子体系。现有的分数阶薛定谔方程包含由Fourier变换定义的非局部Riesz导数，不适应于实际问题中普遍存在的局域势场研究。本项目从路径积分角度重新考虑局域势场中分数阶薛定谔方程的建立及求解的问题，从推导分数阶薛定谔方程的Lévy路径积分的源头出发来克服现有的方程难以应用于局部势场的缺陷，并从一维问题推广到更具实际意义的高维问题，取得主要研究成果如下： . (1)求解了基本的一维局域势场问题: 圆环、无限深方势阱和半无限势阱。我们通过Lévy路径积分方法得到了这些势阱中运动的粒子的传播子，并由此传播子在动量表象下的表达式得到了自由子粒子的波函数和能量本征值，即分数阶薛定谔方程的解。此外，还给出了传播子在拉普拉斯变换，能量-时间转换以及在动量表象下的表达形式。相关结果包含标准量子力学为特殊情况，可以推广到复杂的局部势场。. (2)重建了一维无限深方势阱下的分数阶薛定谔方程。无限深势阱的薛定谔方程直接求解法存在诸多争议，来源于分数阶薛定谔方程中Riesz导数的非局部性质，而Riesz导数的全局性则来源于由路径积分建立薛定谔方程的过程中未考虑势场的空间限制。我们利用Lévy路径积分方法，考虑空间限制，进行周期延拓，重建了无限深方势阱下分数阶薛定谔方程，其波函数需满足周期性边界条件，更便于求解。. (3)求解了高维无限深方势阱下路径积分和分数阶薛定谔方程，并建立了分数阶量子散射理论基本方程。利用Lévy路径积分技术建立了二维及三维情形下无限深势阱中粒子的传播子，精确求解了对应的分数阶薛定谔方程；并利用扰动展开计算了具有δ函数扰动势阱下的能量依赖格林函数。研究了含N个δ势场的链形局部周期势场，建立了分数阶Lippmann-Schwinger方程，给出了粒子在远离势场中心时的散射波函数，以及散射波幅。