分数时空系统的分数阶算子表征量子化方法与Schrödinger方程的非局域量子特性

This project aims to describe the evolution of quantum systems based on changes of displacement and time interval, i.e., "fractional time-space", instead of the usual way of describing the evolution of physical systems based on changes of displacement and time points. Then we will construct mathematical models and develop quantization methods to depict the evolution of systems and deal with non-local dynamical properties..Based on basic mathematical principles and methods, the project constructs a general method by using operational calculus. By representing fractional physical quantities of particles in Hilbert space and constructing fractal path integral of fractional dimensions to describe the motion of the particles, we will construct mathematical model and quantization method to describe the fractional time-space quantum systems. Furthermore, we will solve the open problems of fractional time-space quantum systems:.1. Lacking quantization method;.2. Lacking reasonable Hamiltonian with physical significance for fractional time;.3. Inconsistence between the current theory of fractional time-space in quantum mechanics and many fundamental quantum physics laws..Finally, we will apply the mathematical models and methods to study the physical frontier problem "fractional quantum Hall effect"..The project starts from mathematical theories and methods, and develops to dig into the physical theories and applications. This interdisciplinary project involves a cutting-edge problem in both mathematics and physics, and it promotes the communication and combination between the two research areas. It can not only verify the actual effectiveness of applications of the mathematical theory, but also verify the self-consistence of the physical theory. Moreover, it also provides the qualitative analysis and guarantee for the feasibility of physical applications.

相较于通常基于位移和时间点变化而对系统演化进行描述的方式，本项目旨在基于位移和时间区间变化即“分数时空”来对量子系统演化作出描述，为量子系统建立处理非局域动力学性质的数学物理方法和模型。.本项目基于基本的数学原理与方法，以算子演算的方式构建一般性方法，通过在希尔伯特空间中表现粒子的分数阶物理量，在分数维分形概率轨道上构造路径积分刻画粒子的运动，逐步建立描述分数时空动力学性质的数学模型和量子化方法，从根本上消除分数时空系统研究所面临的公开问题：.1 缺乏量子化方法；.2 缺乏具有物理意义的哈密顿量表现形式；.3 现有理论与多条基本物理原理不相容。.最后将其应用于对物理前沿问题“分数量子霍尔效应机制”的研究。.本项目立足于数学理论与方法，拓展于深入的物理理论和应用；通过所涉及领域间的双向交叉，既检验了数学方法外推的实际效用，又验证了所涉物理理论内涵的自洽性，还为物理应用的可行性提供了定性保障。

本项目通过建立合适的数学工具，解决了目前困扰分数阶量子力学研究的三个重大而基本的公开问题：基本的分数阶量子化方法是什么？如何在保留物理意义的同时表示分数阶Hamilton量？如何避免目前分数阶量子力学违反许多基本量子原则？我们构建了比Schrödinger方程包含更为完整信息的物理量来精确描述分数时空量子系统；我们以此利用路径积分从外部描述粒子的行为以及在短间隔内经历的影响，并利用分数阶算子表征粒子所拥有的能量和动量从内部来描述粒子的行为。该方法可以将粒子运动起点和终点之间的历史信息包含于粒子运动的时间演化过程，并推导出粒子在分数时空中的运动方程。与之前所有分数时空量子化方法均依赖于标准Schrödinger方程不同，本项目方法建立粒子的运动方程仅依赖于粒子的初始状态、终末状态和外部势场，标准Schrödinger方程是我们量子化方法得到的运动方程的特例。在这个过程中通过证明算子对应关系，得到了保留物理意义的分数阶Hamilton量表示。最后我们逐一证明了我们的量子化方法和运动方程满足目前分数阶量子力学所违反的基本量子原则。从而彻底解决了这三个重大而基本的公开问题。作为应用，我们以此研究了两个非局域现象为分数量子Hall效应机制提供了分数阶量子力学描述的可能性：（1）证明了自1929年提出一直被公认为罕见的连续束缚态现象在极小尺度下的普遍性；（2）给出了具有分数时空量子力学无限深势阱的解析解，发现了其中能量和简并的突变现象。