算子方法在Harmonic数恒等式中的应用

Harmonic number is an interesting series, which has an important applications in theoretical physics etc.. Relating to their core issue is the calculation and proof of Harmonic number identities. This project aims to discover the application character of a variety of operators, such as the derivative operator, the finite difference operator, the integral operator, the residue operator and so on, and unify them, then construct new ones to study the (q-)Harmonic number identities systematically. These include: (1) applying the operational method to the equations and function expressions to study the Harmonic number identities, then discussing their applications on the calculation of the Riemann Zate series; (2) using the operational method and symmetric functions theory in q-series and the function expressions with q to study the q-Harmonic number identities, then discussing their applications on calculating the divisor function and q-identity； (3) constructing new and composite operators, and providing a new tool to study the (q-)Harmonic number identities. These studies will supply new ideas to (q-)Harmonic number, which can discover more meaningful identities.

Harmonic数是一种有趣的数列，在理论物理等方面有着重要的应用。有关它们的一个核心问题是相关恒等式的证明与计算。本项目旨在发掘各种常见的算子，如求导算子、有限差分算子、积分算子、留数算子等的应用规律，并将多种形式的算子进行统一，构造新的算子，系统研究(q-)Harmonic数恒等式的问题。包括（1）利用算子方法，通过对等式或函数表达式进行作用，系统研究Harmonic数恒等式的有关问题，并讨论在计算Riemann Zate级数等方面的应用；（2）利用算子方法及对称函数理论等，针对q-级数或含q的函数表达式来进行研究，探讨q-Harmonic数恒等式的问题，并找到它们在计算divisor函数及q-恒等式等方面的应用；（3）构造新的复合型算子，为研究(q-)Harmonic数恒等式提供新的工具。通过以上研究，将为(q-)Harmonic数的研究提供新的思路，从而发现更多有意义的恒等式。

Harmonic数是一种有趣的数列，在理论物理等方面有着重要的应用。有关它们的一个核心问题是相关恒等式的证明与计算。本项目旨在发掘各种常见的算子，如求导算子等的应用规律，系统研究算子方法在计算Harmonic数与q-Harmonic数恒等式等方面的应用。包括（1）利用Telescoping方法、赋值法、部分分式方法等，构造适当的组合恒等式，并对它们利用一阶或者二阶求导算子作用，借助级数重排技巧，得到了一系列有意义的有关Harmonic数的结果，如系统研究了Mortenson类型的恒等式，得到了一系列的Mortenson类型的恒等式；研究了三种有关Harmonic数相乘的一般性公式以及两种含有二项式的级数的封闭公式，并探讨了它们在构造此类Harmonic数恒等式方面的应用；（2）构造适当的q-组合恒等式以及含有q的函数表达式，对它们利用高阶求导算子作用，并借助数学归纳法、部分分式方法，罗贝塔法则、Faa di Bruno公式等，得到了一系列有意义的与经典结果有关的q-Harmonic数的结果，包括：Prodinger公式的两种推广形式、三类与Bell多项式有关的结果等。通过以上研究，证明了许多经典的Harmonic数恒等式，并得到了许多新的有意义的结果，从而为这类(q-)Harmonic数的研究提供了新的思路。. 此外，我们在经典Ramanujan 模3和模5模等式的推广、Ramsey数的上界求法、方程组的求解方面也取得了部分进展，如利用多节级数方法，借助Jacobi三重积恒等式和筛法原理，通过对三重积进行分解，得到了Ramanujan模3和模5的模方程的推广形式；引用超几何函数，在给出一个凸函数的性质的基础上，用它来推测出Ramsey数的渐近上界；利用纤维环映射方法、变分法、变量代换方法，探讨了两类方程组解的问题。