具有复杂块结构的多维马氏过程的理论及应用

Classical matrix-analytic models have found many applications in the fields of operation research, management science, telecommunications, finance, biology, and others, which have received extensive attentions and have been widely studied. The classical models displayed limitations in characterizing complex stochastic phenomena due to their simple block structures. On the other hand, the multidimensional Markov processes with complex block structures can overcome this weakness, and have surged as a research trend and a hot topic in the area. Stability is a central issue for Markov processes, which is of critical importance for system modelling, controlling, optimizing, and others. Because of the difficulty and challenge caused by complex block structures, the stability theory is far from complete for the matrix-analytic models, and many fundamental issues need to be addressed. This project aims at investigating three important issues of the stability theory for the multidimensional Markov processes with complex block structures: ergodicity and related topics; tail asymptotics, approximations and numerical computations of the stationary distributions; and stochastic modelling and applications. Since our research team has a very solid research record, we believe that through the support of the National Natural Science Foundation, we can achieve our goals, and make our contributions to building the framework of the stability theory for multidimensional Markov processes with complex block structures and to widening their application fields.

经典的矩阵分析模型在运筹、管理、通信、金融、生物等学科领域有广泛的应用，受到了很多的关注和研究。但由于其块结构比较简单，在刻画复杂的随机现象时表现出很大的局限性。然而具有复杂块结构的多维马氏过程，却能弥补这一缺陷，也已经成为了该领域的研究趋势和热点。稳定性理论是马氏过程理论的中心问题，对系统建模、控制和优化等非常重要。由于复杂块结构带来的研究难度和挑战，其稳定性理论还很不完善，很多问题理尚未解决。本课题拟从遍历性及相关问题、平稳分布的尾渐近性及数值计算、随机建模及应用三个方面来研究具有复杂块结构的多维马氏过程的的稳定性理论与应用。课题组已有非常好的研究基础，我们相信在国家自然科学基金的支持下，课题组一定能够完成预期目标，为建立多维马氏过程的稳定性理论体系和拓广其应用领域做出贡献。

经典的矩阵分析模型在运筹、管理、通信、金融、生物等学科领域有广泛的应用，受到了很多的关注和研究。但由于其块结构比较简单，在刻画复杂的随机现象时表现出很大的局限性。然而具有复杂块结构的多维马氏过程，却能弥补这一缺陷，也已经成为了该领域的研究趋势和热点。稳定性理论是马氏过程理论的中心问题，对系统建模、控制和优化等非常重要。由于复杂块结构带来的研究难度和挑战，其稳定性理论还很不完善，很多问题理尚未解决。本课题从遍历性及相关问题、平稳分布的尾渐近性及数值计算、随机建模及应用三个方面来研究具有复杂块结构的多维马氏过程的的稳定性理论与应用。具体来说，主要研究如下几个方面的问题：.1. 连续时间马氏链的积分型泛函；.2. 马氏链平稳分布的截断扩充逼近；.3. 矩阵分析模型的泊松方程和渐近偏差；.4. 马氏链的奇异扰动分析；.5. 马氏调制的流体排队模型的稳定性分析； .6. 复杂分支过程的唯一性、拟平稳性和平稳性等。..在国家自然科学基金面上项目的资助下，课题的研究取得了重要进展。课题得到了一系列学术成果：我们通过扰动分析方法给出了马氏链的截断扩充逼近误差的上界估计，发展了有效的平稳分布的数值计算方法；研究清楚了无限位相对矩阵分析模型的影响，给出了二维流体排队模型平稳分布的尾渐近性的刻画；通过发展矩阵分析方法，刻画了奇异扰动对流体排队稳定性的影响；通过研究连续时间马氏链的积分型泛函给出了f-范数意义下的次指数遍历性的刻画；系统深刻地研究了复杂分支过程的唯一性、拟平稳性和平稳性等问题。这些成果发展了新的理论和研究方法，改进了文献的已有结果，为完善马氏过程的稳定性理论体系做出了贡献。..在课题组各成员的共同努力下，共发表学术论文19篇，其中中文核心期刊论文3篇，英文SCIE检索论文16篇。以项目的相关研究内容为题，培养硕士研究生12名，博士研究生6名，其中1名硕士研究生获国家奖学金。