电、磁、声学研究中一类高振荡积分方程、微分方程渐进理论及其高性能计算研究

电磁、声波散射问题的研究涉及一类数学物理反问题，此类问题具有深刻的理论价值和重要的应用价值、亟待解决。高振荡微分、积分方程是刻画这些反问题的重要的数学模型，其数值计算具有许多挑战性研究问题、是科学计算领域非常重要、被公认为难的国际热点研究课题。申请人及其课题组拟在以往工作及资料积累的基础上，主要研究电磁、声波散射研究中具有深刻理论价值和应用价值的高振荡问题：高振荡Volterra型、Fredholm型积分方程、高振荡奇异积分变换的高性能数值算法，并以此为基础，讨论其在电路系统中一类高振荡微分方程数值解的应用。研究结果将首次给出这些高振荡问题的渐进性分析、高效算法关于频率的误差理论。部分研究结果拟解决著名数值学家Brunner、Iserles、N?rsett在牛顿数学所举办的HOP研讨班上提出的公开问题。

顺利完成了研究计划，在高振荡问题新算法的构造、渐进分析、稳定性分析、正交多项式逼近理论以及具有挑战性的高振荡积分方程的数值计算均取得了系列成果。研究结果发表于计算数学顶级刊物SIAM J. Numer. Anal.（2篇）、Math. Comp.（1篇）、IMA J. Numer. Anal.( 2篇）、运筹与控制顶级刊物Math. Program.(2篇）以及国际重要期刊BIT Numer. Math、中国科学等论文20余篇。 . 与Bornemann合作，基于Curtis、Johnson、Riess70年代的工作及Petras 1995年的论文，对最常用的 Clenshaw-Curtis、Gauss积分算法给出了最优误差阶，证明了两个积分公式对非解析函数的等效性，并推广到Clenshaw-Curtis、Gauss、Fejer、Gauss-Chebyshev等积分算法；与王海永合作，给出了Legendre节点的重心权与Gauss-Legendre积分公式的联系以及重心插值公式，此公式与Lagrange、Newton、Jacobi、Cauchy等插值公式被Trefethen评价为有关多项式插值的十一个重要公式，在此基础上，得到了Gauss-LegendreN点插值多项式O(N)的快速算法，相比于Golub、Welsch的 算法有很大改进；针对Jacobi、Ultraspheric正交多项式展开，对系数给出了新的渐进分析，对解析函数或有限正则函数的截断误差、Gauss型积分法给出了新的误差界，并应用于aliasing误差分析等。. 利用moment-free-Filon型方法解决了Brunner、Iserles、Norsett在牛顿所研讨班上提出的关于Bessel核第一类Volterra积分方程的公开问题；为更高效、稳定求解高振荡积分方程，提出了Clenshaw-Curtis-Filon型算法，其较moment-free-Filon型方法具有更高的计算效率，且可用FFT快速实现;首次研究了高振荡Bessel核第一类Volrterra积分方程的渐进理论并给出相应的高效算法，特别是针对高振荡奇异核Volterra积分方程，与Brunner合作提出了系列新算法，给出了收敛性分析以及解的渐进理论，这些算法可直接推广到高振荡Fredholm积分方程数值解的研究。