非局部Lotka-Volterra竞争系统的空间动力学研究

Nonlocal reaction-diffusion equations, which could describe the natural phenomena in physics, chemistry and ecology more accurately, has already attracted more and more attentions. But the introduction of nonlocal term gives challenges to many existed classical reaction-diffusion models. Meanwhile, some essential changes of dynamical behavior have been noticed by past investigations. Especially for the system, nonlocal term will lead to the non-monotonicity. Besides, most of current researches only focused on the nonlocal of interspecific competition term. Our project here will consider the spatial dynamics of Lotka-Volterra competition systems when nonlocal appears on the intraspecific term. In detail, we first explore the existence of non-monotonic traveling wave solutions. Then, under the spatially heterogeneous environment, we study the asymptotic behavior of solutions for the initial value problem in R. Finally, the conditions when Hopf bifurcation and Turing bifurcation occur as nonlocality of system change are established. We deeply investigate the related Hopf bifurcation and Turing bifurcation theory, methods and results simultaneously and further analyze their spots pattern and stripes pattern. The expected results could provide new research ideas and methods for the future studies about nonlocal reaction diffusion systems.

非局部反应扩散方程，由于其能够更准确地描述物理、化学及生态学等领域中的自然现象，近年来受到越来越多的关注。然而，非局部项的引入，使得原有经典反应扩散方程的研究方法受到了挑战，同时在研究过程中也发现了许多由非局部效应引起的动力学行为方面的本质变化。特别是对于系统而言，非局部将导致系统非单调，且目前多数研究考虑的是其出现在种间竞争项的情形。本项目将从种内竞争项出发，致力于研究非局部Lotka-Volterra竞争系统的空间动力学行为，主要内容包括非局部Lotka-Volterra竞争系统非单调行波解的存在性；研究非齐次环境下对应初值问题在无穷区域R上解的渐近行为；研究非局部性变化时，系统出现Hopf分支和Turing分支的条件并深入探讨相关Hopf分支和Turing分支理论，拓展已有的方法和结果，同时进一步分析系统的条形斑图和点状斑图。预期结果将为非局部反应扩散系统的研究提供新的思路和方法。

在物理、化学及生态学等领域中的很多自然现象都可以用非局部反应扩散方程来刻画。本项目系统地研究了非局部反应扩散方程和非局部反应扩散系统的空间动力学行为。主要内容主要包括四个方面：1. 关于行波解方面，有非局部Lotka-Volterra竞争系统的行波解以及相关单种群单稳、双稳、退化情形下非局部反应扩散方程的行波解、周期行波解等；非局部Belousov–Zhabotinsky反应扩散系统行波解；2.关于解的全局动力学方面，有非局部Lotka-Volterra竞争系统初值问题在R上解的渐近行为；非局部单稳反应扩散突变模型的全局动力学行为；非局部双稳反应扩散方程对应初值问题解的适定性；非局部Belousov–Zhabotinsky反应扩散系统相应Cauchy问题解的空间动力学行为。3. 分支和斑图方面，有非局部Lotka-Volterra竞争系统的分支和斑图；非局部Lotka-Volterra合作系统的斑图动力学。4. 相关课题的延伸问题及进一步提炼出来的问题，有考虑干扰的实施（如杀虫剂、规定的焚烧或人为控制的放牧、割草或洪水）对入侵结果的影响；考虑具有多权重的随机延拓复杂网络（SDCNMW）的稳定性问题；考虑具有时间周期的退化反应扩散方程的渐近传播速度问题。通过本项目的研究我们获得了很多区别于经典结果且非常有趣、非常有意义的结果，如非局部反应扩散方程会存在周期行波解且行波解的形状随着非局部性的强弱会发生变化；相应初值问题解可能全局稳定也可能不稳定（取决于非局部性的强弱和出现的位置）；非局部的引入会造成系统的平衡点稳定性发生变化，并出现各种各样的斑图；当然，为了得到这些结论我们也总结和发展了许多新的方法，这些结果和方法都极大的丰富了非局部反应扩散系统理论，增补了多个研究领域的空白。受本项目资助，在执行期内项目申请人共发表高水平SCI论文14篇，拟出版相关专著一本（已校稿，正在出版中）；项目组成员共发表高水平SCI论文30篇。