非凸随机半定规划的SA算法研究及应用

The project will research stochastic approximation （SA）algorithms and applications for minimizing non-convex stochastic semi-definite programming problems which arise in many natural science and applications of practical engineering interest. Based on the foundations of stochastic programming and semi-definite programming and combined with the knowledge of convex analysis, variational analysis and stochastic process, this project employs stochastic approximation algorithms to solve non-smooth non-convex stochastic programming with semi-definite cone constraints.. The main research contents are as follows. Firstly construct several key functions corresponding with semi-definite cone. Secondly, we propose new SA algorithms and try to establish convergence analysis and complexity analysis. Finally, the algorithms in our project will be applied to grasping force optimization, option pricing，localization in wireless sensor network and other fields. The anticipated results of this project will play an active promoting role for the development of stochastic semi-definite programming and SA algorithm.

非凸随机半定规划问题是一类新的、复杂的且具有广泛应用背景的优化问题，在工程、金融以及互联网领域都有着重要的应用。本项目以随机优化和半定规划等理论为基础，结合凸分析、变分分析以及随机过程等知识，主要研究内容是如何应用随机近似（SA）算法来求解带有半定锥约束随机规划问题，包括构造与半定锥约束集合相对应的几类关键函数；借助这些函数构造新的SA算法并从理论的角度建立相应算法收敛性分析和复杂性分析；最后将所构造的算法应用于期权定价、网络定位和握力优化等实际应用领域。本项目的研究结果将会拓宽随机半定规划问题和SA算法的应用领域，具有重要的理论与实际意义。

半定规划是数学规划的一个重要的研究方向，是线性与非线性规划在矩阵空间中的推广，在金融、互联网、运输及电子工程等领域都有着非常广泛的应用。然而在许多实际问题，特别是在金融及工程问题中往往都包含了一定程度的随机因素，因此考虑求解带有随机因素的半定规划模型十分重要。本项目设计求解非凸随机半定规划的SA算法，从理论上研究SA算法收敛性及复杂性结论包括一般的非凸情况以及退化到凸情况的结果。进一步，在仅可获得目标函数0阶信息的条件下，构造求解问题的0阶SA算法，扩大算法的应用范围。对构造算法以MATLAB 语言为工具，编制有效的算法程序进行数值验证并进一步讨论其在工程、金融及无线通信领域中的实际应用。.首先研究设计一个有效的SA算法来解决一般的凸随机半定规划问题，该问题包随机线性半定规划、随机凸二次半定规划以及随机最接近协差阵等问题作为特例；其次研究求解非光滑非凸随机半定优化问题的SA算法，分别指掌握0阶信息和1阶信息的条件下构造相应算法；第三，研究求解带有对称锥约束的随机变分不等式问题的非精确方法；第四，求解极小化连续可微函数与非光滑函数和的交替线性化算法；第五，研究锥约束广义方程控制下的向量优化问题的最优性条件；最后将算法应用于金融经济、图形图像处理及工程等实际应用领域。.在本项目的基础上，项目负责人陈爽获得辽宁省博士启动基金1项；发表学术论文7篇，SCI检索5篇，培养硕士研究生3人，本科生若干人等。相信本项目对随机锥约束优化理论与数值方法的研究对该领域的发展起到一定的促进作用。