图像处理中的自适应低维表示

Adaptive low dimensional representation plays an important role in overcoming the curse of dimensionality and diversity problems of images and has been successfully applied to various applications in image processing. Despite many works related to this field, there still needs further improvements in the perspective of mathematical theory, models and numerical algorithms. Taking the adaptive low-dimensional representation as the core, this project will first use the duality principle in framework theory to construct a learnable wavelet tight frame model in the general sense and combine the non-local representation to study the optimal adaptive low dimensional representation methods in image processing. Secondly, we will systematically study non-convex models related to the low-dimensional representation of images, including the properties of the optimal solutions of the model and numerical optimization algorithms. At last, for the structural error in the specific image processing problem, the project will systematically analyze the internal mechanism in its imaging process, find the key factors of the error source and the statistical properties of the error distribution, and eventually improve the imaging quality by sparse modeling of the error. The applicant has a strong background in sparse modeling and optimization and is expected to make substantial progress in this project. The project has both theoretical significance and broad industrial impacts.

自适应低维表示方法对克服图像数据的维数灾难以及多源性问题发挥着重要的作用，被广泛的应用于各种图像科学的问题中。尽管在这方面已经有了大量的工作，但相应的数学理论、模型与算法方面仍然有很多不足之处。以自适应低维表示为核心，本项目首先将利用框架理论中的对偶原理，定义一般意义下的可学习的小波紧框架构造模型，并且结合非局部表示，研究最优的图像自适应低维表示方法。其次，我们将系统地研究与图像低维表示相关的非凸模型，包括模型最优解的性质与数值优化算法。再次，针对特定图像处理问题中的结构误差，本项目将系统地分析其成像的内在机制，找到误差来源的关键因素与误差分布的统计性质，通过对误差的稀疏建模，从而最终提高成像的质量。项目申请人在稀疏建模与优化方面有很好的工作基础，有望能在该项目中取得实质性的进展。项目目标的实现既有理论意义也有广泛的工业应用前景。

图像处理是此次人工智能浪潮的重要推动者，与国务院印发的《新一代人工智能发展规划》中的多项任务紧密相关。一幅图像往往具有很高的维度，因此对如何对图像数据进行有效降维是图像处理的核心问题。随着成像设备和计算机的快速发展，数据种类、体量和复杂度都大量增加，导致基于传统固定变换的低维表示方法不再适用，亟需发展数据/任务驱动的低维表示方法。基于上述背景，本项目主要研究内容和结果包括：（1）基于成像误差模型的稀疏表示方法研究。在定量磁导率重建问题中，我们从磁共振中相位成像的物理模型出发，推导出成像算子包含边界效应引起的误差，提出刻画误差项和真实信号的联合稀疏表示模型，有效解决了传统重建方法包含条纹伪影和暗斑伪影的问题。（2）基于深度神经网络的成像误差建模方法研究。针对实际问题中噪声复杂、物理建模不精确的瓶颈问题，在最大后验的统计框架下，我们利用变分自编码器和深度神经网络强大的拟合能力和由激活函数内蕴的稀疏性以得到似然函数更好的估计，构建了无需训练样本的自监督损失函数，大幅度提高了传统图像去噪和图像分割算法在真实数据上的效果。进一步地，我们设计了信号和噪声分离的概率图模型，在非配对环境下提出了基于多层变分自编码器的高质量数据生成方法，在图像超分辨、低光图像复原和图像去噪问题上取得了很好的效果。（3）非凸优化问题的优化算法研究。我们研究了黎曼流形上的非光滑优化问题，提出了基于半光滑牛顿方法的增广拉格朗日算法，对外层算法的收敛性和内层算法的收敛率进行了分析。此外，我们也研究了随机Anderson混合算法及其减小内存开销的方法，以高效训练深度神经网络，在图像分类、自然语言处理和对抗训练等问题中取得了很好的数值效果。