刚柔耦合航天器动力学建模及最优控制的几何方法研究

Aiming at the attitude planning and optimal control of rigid flexible coupled spacecraft, the geometric dynamics model of rigid flexible coupled spacecraft is established from the point of view of geometrical mechanics, so as to keep the Lie group structure, energy, momentum and symplectic structure of the model unchanged, and ensure the high precision and global character of the model. The geometric dynamic model is transformed into its equivalent expression in Lie algebraic space. After the equivalent model is solved by the pseudo-spectral method，the solution results are mapped back to Lie group space. With this idea, the geometric pseudo-spectral method of dynamic solution on SE(3) is established. By this method, the attitude motion planning problem of rigid-flexible coupled spacecraft is discrete and optimized for nonlinear programming problem. With fewer points, the scale of nonlinear programming is reduced and the convergence speed is increased. With the Lie group discrete variational method, the first order necessary conditions and optimal path for the optimal control of rigid flexible coupled spacecraft are solved. The optimal control path is searched by Newton's iterative, which conserves the calculation accuracy, the efficiency and convergence. The research provides a new theoretical basis and technical support for the modeling and control of rigid flexible coupled spacecraft.

针对刚柔耦合航天器的姿态运动规划和最优控制问题，利用几何力学和微分几何思想建立其几何动力学模型，使模型的李群结构，能量，动量以及辛结构保持不变，保证模型的高精度和全局性。将几何动力学模型在李代数空间上进行等价变换，利用伪谱法求解基于李代数的动力学方程后将结果映射回李群空间,建立SE(3)上动力学求解的几何伪谱法。利用该方法将姿态运动规划问题离散为非线性规划问题求解，兼具几何模型精度高和伪谱法数值性能好的优势，用较少的配点降低了非线性规划规模而提高收敛速度。利用李群离散变分法推导刚柔耦合航天器最优控制的一阶必要条件和最优路径，通过牛顿迭代搜索最优路径，保证最优控制的计算精度、效率及收敛性。研究为刚柔耦合航天器的建模及控制提供新的理论基础和技术支撑。

研究从基础层面探究了几何力学方法在多体系统动力学建模及求解中的应用方法，从数学表达形式、建模方法、数值计算方法的领域，分别进行了理论推导、数值计算、仿真分析，对其应用过程中存在的问题进行了分析，为后续几何力学方法在刚柔耦合动力学系统中的应用提供了基础。在数学表达形式上，分别研究了基于李群矩阵和向量的表示形式的动力学模型，在建模方法上，分别考虑了Lagrange和Hamilton动力学建模方法的影响。在数计算上，从求解常微分方程的一般方法到求解非线性方程组的方法上进行了对比分析。通过以上分析，可得到以下结论：（1）几何动力学建模方法能够保持系统几何结构的关键在于角速度和姿态之间呈正交关系。因此，无论采用姿态矩阵还是姿态向量进行动力学建模，都可以保持系统得几何结构。此外，通过长时间的仿真分析可知，姿态矩阵下的动力学模型的长时间仿真特性要高于姿态向量形式的动力学模型。（2）通过勒让德变换，Lagrange形式的动力学模型变换为Hamilton形式。这可以降低多体系统动力学模型近一半的复杂程度，从而降低了动力学模型数值求解的难度。Hamilton形式的动力学模型兼有简洁和精度两个方面的优势。（3）以绝对运动为单元进行动力学建模可有效的降低模型的复杂程度，而基于相对运动的动力学模型的李群离散变分积分子则较为复杂。（4）因此以连续几何动力学模型为基础，再利用数值求解方法进行数值计算的方法可兼顾推导及计算双方面的优势。（5）在连续几何动力学模型的基础上，通过离散后，将常微分方程组变为非线性方程组进行求解，从而使连续方程组的求解也具备了李群离散变分积分子的长时间仿真特性。本研究是在直接将几何方法用于多体系统动力学建模过程中存在困难的情况下，从本质上分析几何动力学建模的一般性质，从而得到应用的关键，研究对于几何动力学方法在多体系统动力学领域的研究提供了理论基础。