亚纯函数正规族及其若干问题的研究

Meromorphic function theory is an important branch of complex analysis. The value distribution of meromorphic functions, in which China is leading at a higher level in the world, has penetrated into many areas of mathematics. Normal family theory is a powerful tool to study complex analysis problems. By covering surface theory and traditional analysis methods, we will deeply research formal theory of meromorphic functions and try to find some new normal criteria, especially the normal theory of algebroid functions. In order to enrich and perfect the value distribution theory of meromorphic function, we will explore new research means, break through and innovate research methods and skills. Series is a special meromorphic function,while random series is an edge subject which combines with complex analysis and probability. On the basis of previous studies, the growth of Dirichlet series and random Dirichlet growth and Random series of general random variables will be studied. We will pay attention to study of the lower order of discrete random series and random series of slow growth and random series, apply the value distribution of meromorphic functions and the growth theory to complex equation and try to get good results.

亚纯函数理论是复分析中的一个重要分支，亚纯函数值分布是我国在世界上具有领先水平的数学分支之一，它的理论已经渗透到数学的很多分支和领域。正规族理论是研究复分析中问题的一个有力工具，我们将运用覆盖曲面等理论，结合传统分析方法深入研究亚纯函数的正规理论，试图寻找新的正规定则，尤其是代数体函数的正规理论；并探索新的研究手段，希望在研究方法和技巧上有所突破和创新，进而丰富和完善亚纯函数的值分布理论。级数是一类特殊的亚纯函数，随机级数是结合复分析与概率的一门边缘学科，我们将在前人研究的基础上深入研究Dirichlet级数和随机Dirichlet级数的增长性；同时研究一般随机变量的随机级数，注重对离散型随机级数、慢增长随机级数及随机级数下级的研究。将亚纯函数值分布、增长性等理论应用到复方程上，力求取得好的成果。

亚纯函数值分布是复分析中一个十分重要的分支，它的理论已经渗透到数学的很多分支和领域。本项目主要利用Nevanlinna值分布理论和Zalcman引理研究关于亚纯函数正规族问题。我们将前人分担常数的正规定则推广到分担具有变动特定性质的常数或者函数的正规定则。并且，我们还得到了一些涉及零点、极点分布的正规定则。我们知道级数是一类特殊的亚纯函数，而随机级数是结合复分析与概率的一门边缘学科。在本项目研究中，我们利用Knopp-Kojima方法、Laplace-Stieltjes变换和型函数的性质，研究了Dirichlet级数的级、下级以及正规增长性的充要条件， 分析了两类随机 Dirichlet 级数在右半平面内的型与系数的关系，并得到了在右半平面内的增长性与在任意水平半带形内 (或任意水平半直线上) 的增长性在一定条件下几乎必然相等的结论。我们还利用亚纯函数值分布、增长性等理论讨论了一类微分方程的超越亚纯解和两类差分方程有限级超越有限级全纯解和关于整函数的周期性问题的研究。