代数整数环上的二次型，K-理论以及其它数论问题

The special values of L-functions and the arithmetic of quadratic number fields are main research content of number theory. Gauss conjecture: There exist infinitely many real quadratic number fields with class number one. By using Siegel - Tatuzawa theorem, we known that the difficulty of the class number one problem of real quadratic number field relies on its regulator, which is related to the fundamental unit of real quadratic number field. We also have Ankeny-Artin-Chowla conjecture and Mordell conjecture about the fundamental unit of real quadratic number field. In this project, we mainly study the arithmetic of quadratic number fields, some conjectures about the fundamental unit of real quadratic number field, sums of squares over some rings of algebraic integers, the tame kernels of number field with low degree. The applicant have published papers in the following journals: Forum Math.；C. R. Acad. Sci. Paris；Proc. Amer. Math. Soc.；J. Number Theory；Acta Arith.；Discrete Math.；Sci. China Math..

L-函数在特殊点处的值, 以及二次数域的算术性质均是数论中的热门研究内容. Gauss猜想: 存在无穷多个类数为1的实二次数域. 由Siegel-Tatuzawa定理可知实二次数域的类数问题的困难在于它的正则子, 这与实二次数域的基本单位有关. 对于实二次数域的基本单位, 我们分别有Ankeny-Artin-Chowla猜想和Mordell猜想. 本项目主要研究与二次数域有关的算术性质, 研究实二次数域基本单位的一些猜想；研究一般的代数整数环上的平方和问题；研究低次代数数域上的K_2群的p-Sylow子群的结构. 项目申请者已经在Forum Math.；C. R. Acad. Sci. Paris；Proc. Amer. Math. Soc.；J. Number Theory；Acta Arith.；Discrete Math.；Sci. China Math.等杂志上发表学术论文.

本项目共完成发表论文12篇。毕业硕士研究生8名，博士研究生2名。现有4名硕士研究生，1名博士研究生在读，还有1名博士后。本项目基本完成了预定的目标。主要工作如下：（1）研究K_2O_F的tame kernel，所得结果已经发表在J. Number Theory等杂志上；（2）研究分圆多项式的系数分布，所得结果已经发表在International Journal of Number Theory，Bull. Korean Math. Soc.，Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie等杂志上；（3）研究有限域上的多项式以及子集和问题，所得结果已经发表在Journal of Number Theory，Finite Fields and Their Applications杂志上；（4）研究剩余类有限的 Dedekind 整环上的问题，所得结果已经发表在Journal of Number Theory，Bull. Aust. Math. Soc.等杂志上。（5）研究计划的第1条，关于实二次数域的 stufe 问题(实二次数域的基本单位的范)，双二次数域的平方和问题，以及一般的代数数域整数环上的平方和问题，难度比较大，没有实质性进展，需要积累知识和经验，继续研究。