奇异J-对称哈密顿系统谱问题研究

The spectral theory for differential operators can be classified into the symmetric case and the non-symmetric case. The classical mechanics is symmetric. The theory for macroscopical Newton mechanics and that for classical quantum mechanics are symmetric. However, the laws of many physical tests and natural phenomena are non-symmetric in general, and a lot of them are J-symmetric. Therefore, we must comprehensively understand the properties of J-symmetric differential operators. In this project, we will consider singular J-symmetric Hamiltonian systems, and study the defect index types of J-symmetric Hamiltonian systems, the characterizations of all the J-self-adjoint extensions of the minimal operator, and the conditions for the corresponding operators to be accretive and sectorial. In particular, we will pay attention to the methods applied. The conditions for the essential spectrum to be invariant will be given, and the relationships between the spectrum of the corresponding operator and the integrable square solutions will be obtained. By using the above results, the techniques that the non-symmetric differential systems are transformed into a pencil of symmetric systems, and the singular sequence theory, the spectral properties will be studied. The results of this project that will be obtained are mew theories and methods for us to study the mathematics itself, nuclear physics, electromagnetic field theory, and quantum mechanics etc.

微分算子谱理论分为对称与非对称两种。经典力学是对称力学，宏观牛顿力学理论体系和经典量子力学理论体系所产生的大量微分算子是对称的，而许多物理试验和自然现象中所呈现的规律一般是非对称的。在这些非对称问题中有相当一部分是J-对称的，这自然要求我们对J-对称微分算子谱性质进行全面地了解和掌握。本项目将对奇异J-对称哈密顿系统的亏指数类型、J-自伴扩张、相应算子增生条件与扇形条件以及相应J-自伴算子谱性质进行深入地研究。将建立亏指数类型判别准则，给出系统最小算子所有J-自伴扩张刻画，给出算子增生条件与扇形条件。特别地，本项目注重方法的使用，将利用系统系数给出本质谱不变的扰动条件，给出相应算子谱与平方可积解之间关系，并利用所获结果结合对称转化法以及奇异列法等研究谱性质。本项目拟完成的成果对于数学理论本身、原子核物理、电磁场理论、量子力学以及许多科学领域的研究提供新思路新方法。

本项目研究奇异J-对称Hamilton系统谱问题，其中包括J-自伴扩张、亏指数、以及相应Hamilton算子谱性质等。首先利用相应系统的平方可积解所描述的边条件给出了J-对称Hamilton系统J-自伴扩张的刻画，给出了亏指数分类以及相关判定。然后利用扩张理论作为基础建立了J-对称Hamilton系统、对称Hamilton系统以及离散Hamilton系统本质谱与平方可积解个数之间的关系，并给出了某些J-对称Hamilton系统本质谱分布情况。 特别地，本项目给出了极限圆型Hamilton系统相对紧与相对有界扰动的等价关系，得到了Hamilton系统本质谱在无穷远处微扰之下的不变性，并利用它得到了一些Hamilton系统本质谱分布情况。另外，本项目还对Sturm-Liouville特征值问题进行了深入探讨，得到不定Sturm-Liouville谱问题非实特征值界的估计，并在一般Sturm-Liouville谱问题特征值极值问题和特征值关于系数函数的连续性方面得到了相应的结果，对带有不定权的p-Laplacian 问题特征值进行了研究。J-对称算子谱理论研究的方法和工具相对较少，谱表示定理不再成立，再加以系统系数的复杂性，对它的研究有一定的难度，本项目注重方法的使用，利用相应算子谱与平方可积解之间关系和本质谱不变扰动等研究谱性质。本项目所研究的问题多数是国际在该领域的前沿研究课题，这些问题的解决不仅可以完善非自伴微分算子谱理论，推动一般非对称算子谱理论的发展，并在原子核物理、电磁场理论、量子力学等学科的研究中有重要的理论意义和应用价值。