双分数Brown运动的随机分析及应用

双分数Brown运动是一类具有自相似性质的零均值Gauss过程,它推广了分数Brown运动同时又具有很多好的性质。相比于分数Brown运动的广泛应用、充分研究且研究成果非常丰富，双分数Brown运动的研究仍处于初级阶段，还有很多随机分析学问题亟待解决。.本项目中我们运用随机分析，无穷维随机分析等理论方法研究双分数Brown 运动的Girsanov定理和Clark-Ocone公式，我们还将进一步研究由双分数Brown运动驱动的随机微分方程的解的存在唯一性以及双分数Brown运动在金融市场建模、衍生物定价中的应用。通过本项目的研究我们将进一步完善随机分析及无穷维随机分析理论体系，将为包括金融、电信、水文和物理在内的众多领域的相关应用提供有效的数学工具和可借鉴的数学理论方法。

双分数Brown运动是一类具有自相似性质的零均值Gauss过程,它是分数Brown运动的推广。本项目我们运用Malliavin分析为主要工具，建立了关于双分数Brown运动的Gauss概率空间，利用双分数Brown运动的拟螺旋性质导出其关于Sobolev空间范数的估计.我们研究了双分数Brown运动轨道的拟必然Hölder性质，并将上述结果推广到一类具有拟螺旋性质的连续Gauss过程，完成论文 “一类连续Gauss过程的拟必然q变差，并在《应用数学学报》中文版发表。. 我们还研究了关于一类特殊半鞅的随机积分，改善了Bichteler书中的由上述特殊半鞅驱动的随机积分的可料控制的不等式，采用时刻变换，Lebesgue引理和可料时的a.s.可预报性对前面得到的不等式进行变换。由此得到由此类特殊半鞅驱动的随机微分方程的解的逐次逼近是收敛的，从而证明了非Lipschitz系数条件下，此类随机微分方程解的存在唯一性。上述结果即为“Existence and Pathwise Uniqueness of Solutions to SDE driven by a class of Special Semimartingale”，已发表在《中国科学院研究生院学报》上。. 在此项目研究期间，我们系统地学习了经典金融理论，对鞅，随机积分，随机微分方程等在金融资产定价以及金融市场建模中的应用有了全面的的了解。我和学生目前正在计算随机CIR利率模型下障碍期权的定价公式。我们还在讨论班研讨有交易费用情形下，标的资产服从几何Brown运动的推广CEV模型，金融市场的无套利刻画，以及期权的复制与定价等问题。由于有该项目经费的支持，我招收了两名硕士研究生，同时参加了国内随机分析领域的许多学术会议。