Brown运动及分数Brown运动驱动的随机动力系统的概周期性、概自守性及遍历性研究

The qualitative properties such as almost periodicity, almost automorphy and ergodicity are always the basic and important problem of the theory and application of differential equations and dynamical systems. Based on the almost periodicity, almost automorphy of random stochastic differential equations driven by Gaussian process, we futher study the existence, stability, geometric structure and properties of almost periodic solution, almost automorphic solution, and the relationship between the almost periodicity, almost automorphy and ergodicity of stochastic differential equations and random dynamical systems driven by Gaussian process of different sources and statistical properties. Furthermore, we establish the theory of the almost periodicity, almost automorphy and ergodicity of stochastic differential equations and random dynamical systems driven by frational Gaussian process. Then we compare the qualitative properties of stochastic differential equations and random dynamical systems driven by Gaussian process and frational Gaussian process, analyze the essential difference between stochastic differential equations，random dynamical systems and deterministic differential equations，deterministic dynamical systems, and study the new problems and phenomena of differential equations and dynamical systems driven by random factor.

概周期性、概自守性及遍历性等定性性质的研究一直是微分方程及动力系统理论和应用研究中一个既重要而又基本的问题。 本项目基于Guass过程驱动的随机微分方程的概周期性及概自守性研究，进一步研究不同来源，不同统计特性的Guass过程驱动的随机微分方程及其产生的随机动力系统的随机概周期型解和随机概自守型解的存在性、稳定性、几何结构和性质，以及概周期性、概自守性和遍历性以及不变测度之间的关系，建立由分数Guass过程驱动的随机微分方程及其产生的随机动力系统的概周期性、概自守性及遍历性理论。 并由此比较Gauss过程及分数Guass过程驱动的随机微分方程及其产生的随机动力系统的动力学性质异同，分析和讨论随机微分方程及随机动力系统与确定性微分方程及确定性动力系统的动力学行为的本质区别，研究随机因素给微分方程及微分动力系统带来的新问题和新现象。

随机微分方程及其生成的随机动力系统的几何理论和动力学问题等的研究一直是随机微分系统定性理论和应用研究的一个研究的重点和热点，在数学、物理学、生物、经济和工程等领域上有很强的应用背景。因此探索和建立一套相关随机微分系统几何理论和动力学问题的研究方法和技术无论是对随机微分系统理论的研究，还是对科学与工程应用的研究都具有重要的理论意义和应用价值。本项是关于随机微分方程及其生成的随机动力系统的动力学性质的研究。分析和讨论随机微分方程及其生生的随机动力系统与确定性微分方程及其生成的确定性动力系统的动力学行为的本质区别，研究随机因素给微分方程及微分动力系统带来的新问题和新现象。该项目研究成果由17篇学术期刊论文组成，其中SCI已经收录论文8篇，权威核心期刊论文1篇，一般核心期刊论文3篇。这些论文分成三组，第1组由5篇论文组成，这一组论文主要研究随机微分系统的动力学性质。研究了一些由Brown运动及分数Brown运动驱动的随机微分方程解的存在唯一性及随机动力系统的产生，讨论了一些随机系统的随机稳定性，随机吸引子几何结构、不变测度性质、随机分支复杂性构成机理及相关内容。第2组由7篇论文组成，这一组论文主要研究确定微分动力系统的动力学性质。深入研究了一些动力系统的稳定性、概周期型解的存在性、稳定性及其它相关性质。第3组由5篇论文组成，这一组论文主要研究随机分析应用及不等式方面相关问题。 研究了基于企业系统可靠性因素的经营者长短期激励，另外，通过引进一个独特的核与应用权函数方法， 建立了一谢全新的且带最佳常数因子的多重Hilbert型不等式，同时还考虑了该不等式的算子表达式，等价形式，逆向不等式和特殊情形。这些成果显示分数Brown运动和经典Brown运动对微分方程和动力系统的动力学性质影响有着很大的差异，随机微分方程及其生成的随机动力系统与确定性微分方程及其生成的确定性动力系统的动力学行为有本质区别。