随机广义多孔介质方程的适定性及渐近性质研究

Stochastic porous media equation (SPME) is one of the essential contents of stochastic analysis. This class of equations includes various non-linear stochastic partial differential equation models in ionized gases at high temperature, plasma physics, heat conduction, ground water flow, population dynamics etc, hence it is quite important not only in theoretical sense, but also in applied science. This project aims to study the existence, uniqueness and asymptotic properties of solutions to SPMEs on б-finite measure spaces. Specifically, following problems will be investigated in this project: (1) We will use Yosida approach to obtain the existence and uniqueness of solutions to stochastic generalized porous media equations for maximal monotone functions with polynomial growth. (2) We intend to use the asymptotic compactness to analyze the existence of random attractors for stochastic generalized porous media equations, meanwhile, we will also study large deviation principle, existence of invariant measures and related properties for stochastic generalized porous media equations.

随机多孔介质方程是随机分析的一个重要研究课题。这一类方程包含了高温下的电离气体运动、等离子体物理、热传导、地面水流运动、种群动态等问题中的非线性随机偏微分方程模型，因此研究该方程具有很重要的理论意义和应用价值。本项目拟研究б-有限测度空间上随机多孔介质方程解的存在唯一性以及各种渐近性质，具体有以下两个问题：（1）漂移项系数为多项式增长的极大单调函数时，用Yosida逼近方法研究随机广义多孔介质方程解的存在唯一性。（2）利用渐近紧性等方法研究随机广义多孔介质方程随机吸引子的存在性问题，同时申请人也将研究随机广义多孔介质方程的大偏差原理、不变测度存在性等问题。

随机多孔介质方程在刻画高温下的电离气体运动、等离子体物理、热传导、地面水流运动、种群动态等问题中有非常重要的应用，本项目主要研究了一般测度空间上两类随机多孔介质方程解的性质。具体解决了以下四个问题：关于漂移项系数为利普希茨单调增函数的随机广义多孔介质方程，我们利用弱收敛的方法证明了该类方程解的大偏差原理；证明了由Lévy噪声驱动的该类方程解的存在唯一性，并进一步利用弱收敛、时间离散化、截断以及对概率测度序列的相对熵估计等方法证明了此类方程解的大偏差原理。以上研究结果适用于物理学中的经典Stefan问题，以及分数阶拉普拉斯算子、广义薛定谔算子、分形上的拉普拉斯算子等例子。关于漂移项系数为满足多项式增长条件的极大单调函数的随机广义多孔介质方程，我们通过依次对原方程的漂移项系数和漂移项算子进行Yosida逼近，证明逼近方程的解逐步收敛到原方程的解，并且解唯一。此研究结果适用于欧氏全空间、分形或者流形上的暂留（非）局部狄氏型生成元，以及物理学中用来刻画相变动力学的自组织临界模型、微分几何中的Yamabe流动、等离子物理学中的Okuda-Dawson定律等快速扩散方程模型。