受控切换扩散过程最优化控制问题研究

The optimal control of controlled switching diffusion processes (CSDPs) has many applications in the fields of finance and insurance, etc. CSDPs involve both continuous dynamics and discrete events, such systems are capable of describing the portfolio problem under varying market environment (bull or bear), etc. Based on the CSDPs with countable switching states, this proposal will study the expected criterion with varying discount, constrained optimization and first passage problem. These criteria have rich background (time consistency of interest rates, limit of resources, bankruptcy problem) and meaning. The characteristics of the research system are as follows: the switching states are countable, the discount function is randomly varying, and the running cost functions are unbounded. According to the above criteria, the research contents include: 1) the existence and characteristics of optimal control;2) effective numerical approximation algorithm for optimal control;3) application in practical problems such as financial investment. The goal of this proposal is to develop operable (near) optimal control for practical problems, hoping that such results can provide scientific reference for applications such as financial investment. Having been pointed out that there is an essential difference between the optimization research on the CSDPs with countable switching states and the case with finite switching states. Therefore, research in this proposal is a thorough expansion of the case with finite switching states. Besides, the research on the associated constrained optimization and first passage problem is the first time.

受控切换扩散过程(CSDPs)的最优化控制，在金融保险等领域有诸多应用。CSDPs中连续动力与离散事件相互交织，可描述变动市场环境(牛、熊市)下的投资组合等许多实际问题。项目将基于可数切换CSDPs，研究可变折扣期望准则、受约束优化和首达目标准则。这些准则具有丰富的背景(利率的时间一致性、资源有限性、公司破产)和研究价值。研究系统特征有：切换状态可数、折扣因子随机可变、运行成本函数无界。研究内容有：1)最优控制的存在性及其特征；2)最优控制的有效数值逼近算法；3)在金融投资等实际问题中的应用。项目预期目标：针对应用实例构造可操作的(近似)最优控制，为金融投资等实际问题提供科学参考。有文献指出对可数切换CSDPs优化理论的研究与对有限切换情形的研究之间存在本质差别，故本项目拟开展的针对可数切换CSDPs最优化控制的相关研究是对有限切换情形的深入拓展，且对受约束优化和首达目标问题的研究是首次。

基于受控切换扩散过程的最优化控制，是随机优化控制领域当前的热点研究课题之一。受控切换扩散过程由连续动力与离散事件相互交织构成，其中离散事件可描述随机环境，例如股票市场的牛、熊市。因此基于此类过程的优化控制理论在金融保险等领域有着广泛的应用。项目基于受控切换扩散过程研究了折扣期望准则、受约束优化、首达目标问题。由于折扣因子对应于经济学中贴现的概念，受约束问题可解释金融或保险公司在进行投资时可支配资金的有限性，首达目标又能对应保险公司的破产问题，因此这些优化准则具有较强的应用背景和潜在应用价值。项目既开展了针对最优控制的存在性及其特征，以及相应有效数值逼近算法的理论研究，也针对金融中的大宗股票定价，最优再保险等实际问题开展了应用基础研究。1、针对项目所提出的受控切换扩散过程折扣期望准则的受约束优化问题，通过拉格朗日乘子法和粘性解理论的结合得到相关优化结果并应用于描述股票购买问题，目的是研究针对大宗股票交易的最优的购买策略。为了得到可操作的近似最优策略，我们构造了双层的随机逼近算法方案。针对该问题的研究可以为具体的大宗股票采购提供定量参考信息，即为大宗股票交易双方提供量化的定价信息。基于该问题已完成并发表成果两篇（见正文）。2、针对项目所提出的受控切换扩散过程首达目标折扣准则问题。我们基于再保险和最优分红的实际背景，已经完成并投稿一篇论文（见正文）。本文考察了有限阶段情形的再保险和最优分红问题。同样的由于最优控制的显示表达式不易构造，我们也发展了相应的数值逼近算法。最终给出了再保险比例和最优分红的近似表达式。3、基于受控切换扩散过程的风险灵敏控制问题是目前随机控制领域的热门研究课题我们也展开了研究，已完成一篇论文并投稿（见正文）。4、项目组的主要成员，基于马氏决策过程，考虑了连续时间有限阶段的风险概率准则，为开展基于受控切换扩散过程的风险概率准则奠定基础。目前成果已发表（见正文）。