基于区域分解和混合有限元的大地电磁三维并行正反演研究

The practical three-dimension forward modeling and inversion of magnetotelluric method still remain challenging today.In addition to the complexity of electromagnetic responses on topography and complicated medium and the ill-poseness of the inverse problems, the large computational cost in terms of both memory and CPU time is a critical obstructive factor in its realistic application. In this project we will solve the forward problem using an mixed finite element method, regularization and the inexact Gauss-Newton method are used to obtain reasonable solution of inverse problem.Based on the second-order curl-curl equation, vectorial finite element discretization on an unstructured grid is applied for the approximation of the vector field, and the divergence-free condition is enforced by Lagrange multiplier to eliminate spurious solutions by removing the null space of the curl-curl operator.In this forward and inverse framework we present a divide and conquer methods to implement coarse grain parallel computing. It splits a global computational domain into many smaller non-overlapping subdomains and divide the computational tasks by subdomains.The local problems in neighborhood domains are coupled with matching condition onto the boundaries.The goal of this project is to address the difficulty for solving low frequency problems, overcome the speed and memory bottleneck, build up a parallel theoretical and algorithmic system for forward and inverse problem with complicated geological structure and topography,and improve the level of practical application for MT 3D forward modeling and inversion.

三维电磁场响应的复杂性和反问题的不适定特性造成了三维大地电磁正反演的复杂性，而问题规模和数据量巨增造成的速度和存储问题是制约三维正反演实用性的关键因素。本项目拟采用混合有限元形式解决复杂地质结构的三维正演问题，根据正则化思想引入解空间约束，利用不精确的高斯-牛顿算法进行三维反演求解。在正演模拟中，用非结构化网格剖分的矢量有限元离散电场矢量，同时采用Lagrange乘子法，在2阶双旋度微分方程基础上施加电荷守恒限制条件，去除双旋度算子零空间，避免低频模拟时的伪解。在正反演框架中，引入分而治之的并行计算策略，分割区域为多个非交错子域，相邻子域间通过边界匹配条件耦合，把计算任务按子域分解做粗粒度并行。项目拟基于相关研究，克服低频电磁场模拟求解的困难，解决三维正反演中速度和存储的瓶颈问题，形成一套适合起伏地形等复杂地质条件下正反演并行化理论和算法体系，提高三维大地电磁正反演的应用水平。

现代的大地电磁（MT）电磁采集系统可以在短时间内采集到大量的数据,但目前应用于生产实践的 MT 测深数据解释处理软件多是一维、二维反演软件,采用的简单地球物理和数学模型不能满足立体精细探测的要求。MT三维正反演是高度复杂和耗时的数学物理求解问题,需要进一步解决的关键问题是：在复杂地质地形条件下提高MT三维正演的求解精度;在大数据量情况下提高三维反演的稳定性和求解效率。本项目基于有限元和高斯-牛顿数值正反演技术，研究了高效率、高精度的MT三维正反演算法，主要研究内容和创新性成果包括：1、提出了一种混合有限元方法。不同于常规的矢量有限元方法，本方法对电场作Helmholtz 分解扩充双旋度方程，并加入电荷守恒条件，求解有限元方程离散后得到的鞍点问题得到电场分布。该方法与传统的矢量有限元方法相比，由于强加了电流连续性条件并消除了双旋度算子零空间的成分，减少了伪解问题和电导率变化引起的求解误差，提高了求解精度。2、针对非结构化四面体网格情况下矢量有限元的精度难于满足要求，而节点有限元方法不满足电场强度法向连续性要求的困难，提出了一种基于grad-div稳定化的节点有限元方法，在原双旋度方程中引入加权稳定化项，提高了非结构化网格节点有限元求解的计算精度。3、提出了一种改进的节点有限元方法。将Helmholtz分解和散度条件(电流连续性)引入边值问题，用节点有限元离散，并求解扩充后的线性方程组。该方法有效降低了电性变化对节点有限元计算精度的影响。4、提出了等效源的有限元处理技术，利用层状介质下的解析解与离散后的有限元系数矩阵相乘，得到离散的等效源右端项，减小了边界效应和计算区域，提高了计算精度和计算效率。5、采用压缩存储形式存储系数矩阵,使有限元离散稀疏矩阵中大量的零元素既不存储也不参与运算，大大提高了正反演求解效率。6、反演算法给出了一种双网格技术，用粗网格作为反演网格，正演采用精细化网格，降低了反演的不适当定性。7、在高斯-牛顿反演算法中给出了Jacobi-free和不精确求解技术。用拟正演方法形成Jacobi矩阵及其转置与向量的乘积，不存储导数矩阵;在求解模型修正方程时，利用不精确Krylov子空间迭代求解算法，限制迭代次数，放松残量要求以减少计算量，提高求解效率。8、基于上述算法，基于linux和fortran/C++平台开发了并行化三维正反演软件。