最优质量运输中的若干正则性问题研究

Based on our previous research, we study several regularity problems in optimal mass transportation by using methods in partial differential equations and geometric analysis. We establish the relationships between the smoothness of the optimal map and the three main factors including the cost functions, transportation spaces, and the probability measures. We shall study the Dirichlet problems as well as the Neumann problems for fully nonlinear partial differential equations related to optimal transportation under weaker assumptions. Furthermore, we shall also study an open problem which considering the regularity for the original Monge's problem. Nowadays, optimal mass transportation problems has arouse many research interests. In mathematics, the optimal transportation problems have relationships with many branches such as the calculus of variations, partial differential equations, differential geometry, probability, etc. Furthermore, optimal transportation problems have many applications such as economics, cosmology, meteorology, etc. Therefore, further research on the regularity problems may reveal more intrinsic factors affecting the smoothness, and may combine the mathematical braches of partial differential equations, calculus of variations, geometric analysis, etc.

在前期工作基础上，本课题拟深入研究最优质量运输问题中与最优映射的正则性相关的若干问题，用偏微分方程和几何分析的方法，从费用函数的特征、运输空间的几何刻画、概率测度的正则性入手，建立最优映射的光滑性对于这些因素的必要的依赖关系，在较弱的条件下讨论与最优运输相关的完全非线性方程的Dirichlet边值问题与Neumann问题解的正则性；并深入研究古老的Monge问题最优映射的正则性这一公开问题。最优质量运输问题已经引起了众多学者的关注，它在数学理论方面联系着变分学、偏微分方程、微分几何、概率论等分支学科，并在其它应用领域诸经济学、宇宙学和气象学等领域中有重要应用。开展本课题的正则性方面的研究，可进一步揭示最优运输问题中费用函数、运输空间、概率测度对最优映射正则性的内在影响，并能将偏微分方程、变分学和几何分析等分支通过最优运输问题联系起来。

研究了最优质量运输方程的Dirichlet边值问题，通过建立边界下水平集的形状估计，得到解的全局Schauder估计。讨论一类增广的k-Hessian方程的Dirichlet边值问题，在A3w条件下利用方程的下解和Andrews不等式将二阶导数估计约化到边界上，进而通过边界估计的办法得到边界二阶导数估计，从而得到全局的二阶导数估计。对一类几何光学问题中的Monge-Ampere型方程的第二类边界问题，通过凸分析的技巧，构造出了方程的一个较大的允许解，通过该允许解构造出全局闸函数并建立了全局和内部的二阶导数估计，该全局二阶导数估计也适用于最优运输问题，在这个估计中既不需要假设下解存在，也不需要假设区域具有与矩阵A有关的有界性。讨论了Monge-Ampere型方程的Neumann边值问题，给出了区域与矩阵A有关的凸性定义，在此凸性下通过改进Lions-Trudinger-Urbas的估计技巧，得到了全局二阶导数估计，从而结合梯度估计和解的最大模估计建立了经典解的存在唯一性。对于同样的Neumann问题，通过另外两种完全不同的方法，建立了其全局的梯度估计。研究形式较为一般的增广Hessian方程的斜微商问题，在矩阵A满足A3w条件时，讨论了方程的线性和非线性斜微商问题的全局二阶导数估计，进而得到了经典解的存在性。