无穷维哈密顿系统的双曲不变环面及扩散轨道

With the naissance and rapid development of KAM theory, Arnold diffusion emerges and is highly valued by the scientific community. Not only mathematicians, but some physicists and dynamicists have joined the research work. A method to study Arnold diffusion is that using the hyperbolic invariant tori and Aubry-Mather theory to construct diffusion orbits in finite dimensional Hamiltonian systems. However, the study of hyperbolic invariant tori and its closely related diffusion orbits for infinite dimensional Hamiltonian systems has just started and there are a lot of problems to be studied. This project is devoted to studying the existence of hyperbolic invariant tori and diffusion orbits for infinite dimensional Hamiltonian systems in higher dimensional space. To be specific, the first main goal is to construct hyperbolic invariant tori for lattice system with long-range interaction; The second main goal is to study the nonlinear wave equation (NLW) in higher dimensional space and obtain the existence of hyperbolic invariant tori; The third main goal is to construct the diffusion orbits for the NLW on the basis of achiving the second goal.

伴随着KAM理论的诞生和快速发展，Arnold扩散问题也随之出现并受到科学界的高度重视，不仅是数学家，而且一些物理学家和力学家也加入这方面的研究。在有限维哈密顿系统中研究Arnold扩散的一个途径就是利用系统的双曲不变环面结合Aubry-Mather理论来构造扩散轨道。而关于无穷维哈密顿系统双曲不变环面的存在性以及与其密切相关的扩散轨道的存在性的研究才刚刚起步，有大量的问题有待研究。本项目致力于研究无穷维哈密顿系统的双曲不变环面及扩散轨道的存在性。具体来说，第一个主要目标是建立具有长程作用的格点系统的双曲不变环面的存在性；第二个主要目标是研究高维函数空间中非线性波方程(NLW)双曲不变环面的存在性；第三个主要目标是在实现第二个目标的基础上，继续进一步构造NLW的扩散轨道。

伴随着KAM理论的诞生和快速发展，Arnold扩散问题也随之出现并受到科学界的高度重视，不 仅是数学家，而且一些物理学家和力学家也加入这方面的研究。在有限维哈密顿系统中研究Ar nold扩散的一个途径就是利用系统的双曲不变环面结合Aubry-Mather理论来构造扩散轨道。而 关于无穷维哈密顿系统双曲不变环面的存在性以及与其密切相关的扩散轨道的存在性的研究才 刚刚起步，有大量的问题有待研究。本项目在研究格点系统在较慢衰减（如多项式衰减）的长程作用下双曲环面的存在 性问题时，在KAM迭代过程中出现的小分母情形较复杂，尤其是有重根出现时，估计起来 非常复杂，一时还没攻克下来，但在研究过程中在其他方面，如PDE 的椭圆环面的存在性，解的长时间稳定性、以及不等式估计等方面取得了一定突破。得到了下述几个有意义的结果:.(1)研究了一类周期边条件下的广义KdV方程，利用一个修正的无穷维KAM定理及部分Birkho ff标准型的技巧证明了方程存在大量的拟周期解；.(2)对高维函数空间中带导数的beam方程进行了研究，利用高维函数空间中的一个KAM 定理得到了该方程的KAM不变环面，进而证明了该方程存在大量的线性稳定的拟周期解;.(3)研究了一类周期边条件下的5阶偏微分方程，该方程为FG方程的近似，建立了该方程的Hamilton结构，利用一个无穷维KAM定理及部分Birkho ff标准型的技巧证明了方程存在大量的线性稳定的2维不变环面，从而存在大量的线性稳定的拟周期解； .(4)考虑了一类周期边条件下的非自治的mKdV方程，证明了该方程存在大量的拟周期解；.(5)建立了几个广义双参数三角函数和双曲函数的积分等式和不等式；.(6)通过(p,k)-gamma 函数证明了广义4参数Mittag-Leffler函数的Turán型不等式；给出了广义椭圆积分和(p,q)-椭圆积分的Landen型不等式，推广了文献中已有的结果。