时间序列模型中稳健且有效估计及稳健变量选择问题的研究

Time series analysis has a wide range of applications in many fields,but the study about time series analysis at present is mostly supposed that the error term is Gauss distribution. However, many empirical evidences show that the heavy-tailed distributions exist generally in many fields,such as economy,finances,traffic, meteorology and hydrology and so on. This project seeks to construct a new loss function, we first study the robust and efficient estimation for unknow regression coefficient and autoregressive orders in the linear regression models with autoregressive errors, and then investigate its robustness, e.g.,What is the finite sample breakdown point? Is its influence function bounded? Finally, we will show that the proposed estimation is consistent and asymptotically normal. We will consider the robust variable selection method on this base and corresponding algorithm, and then study the Oracle properties and robustness and the convergence of the corresponding algorithm and its convergence rate; We try to extend the proposed method to the other important time series models, such as autoregrssive model, moving average model, and autoregressive-moving average model and so on, and give their properties. This will provide an important theoretical evidence and practical guidance for the application of time series models in economy and finances.

时间序列分析在诸多领域有着广泛的应用，但目前的研究大多是在误差项服从高斯分布的假设下进行的，然而，大量的经验数据表明，经济、金融、通信、气象学以及水文学等领域的时间序列数据具有重尾分布。本项目试图构造一个新的损失函数，首先研究误差服从自回归的线性模型中回归系数与自相关阶数的稳健且有效估计；进而研究其稳健性质,即：有限样本崩溃点是多少？其影响函数是否有界？并且获得其大样本性质；在此基础上，研究其稳健变量选择方法以及对应的算法，并研究其Oracle性质与稳健性质以及对应算法的收敛性与收敛速度；尝试将方法推广至自回归模型、滑动平均模型以及自回归-滑动平均模型等重要的时间序列模型并给出其性质，为时间序列模型在经济、金融等领域的应用提供重要的理论依据和实践指导。

本项目主要研究几类带有重尾时间序列模型、半参数统计模型以及混合回归模型的稳健估计和稳健变量选择方法。主要包括带有重尾自相关误差的线性回归模型、带有重尾误差的自回归模型、部分线性模型以及混合回归模型。对带有重尾自相关误差的线性回归模型，基于权重的复合分位数回归和自适应LASSO惩罚，研究了回归变量与自相关阶数的稳健变量选择。在一定条件下，证明了所提的估计具有Oracle性质。同时，提出了一个迭代算法解决了所提的优化问题并通过数据驱动的方法选择惩罚参数。在带有重尾误差的自回归模型中，我们基于一个指数平方损失函数，提出了一个稳健且有效估计，证明了所提估计的相合性。既然所提的估计包含一个协调参数，我们通过5-步的交叉验证选择此协调参数。对部分线性模型，我们首先基于指数平方损失函数，对部分线性回归模型提出一个稳健估计，证明了所提估计的稳健性；其次，我们将线性回归模型的稳健S-估计推广至部分线性模型，提出了一个稳健的S-估计，并提供了一个迭代的算法以及一个广义的交叉验证过程选择惩罚参数；最后，提出了一个双惩罚分位数回归估计，并提出一个迭代算法解决了所提的优化问题。对有限混合回归模型，我们通过对截去高的杠杠点的数据假设其误差服从一个拉普拉斯分布，对有限线性回归混合模型提出一个稳健变量选择方法估计和选择相关的协变量，并提出了一个修正的EM算法解决了所提的数值计算问题。