图的Hamilton性质的重子图条件

Conditions for the Hamiltonian properties of graphs have been a very important issue in the research of graph theory. In this project we will combine two main types of these conditions, degree conditions and forbidden subgraph conditions, together, and study the so-called heavy subgraph conditions and the theory and methods of related closures of graphs. For heavy subgraph conditions, we will begin with a deep analysis of the distinction and connection among various Hamiltonian properties of graphs, get acquaintance with the results of degree conditions and forbidden subgraph conditions, choose the results on the forbidden subgraph pairs for Hamiltonian properties of graphs as start points, provide theoretical proofs and counter -examples, and then determine heavy subgraph pairs for the Hamiltonian properties of graphs under the Ore-type heavy subgraph conditions, the Fan-type heavy subgraph conditions and the the combined Ore- and Fan-type heavy subgraph conditions. For the closures subject to heavy subgraph conditions, we will first study the results and methods on the closures for claw-free graphs, and then introduce appropriate closures with respect to different heavy subgraph conditions. The above research will open a new direction for the study of Hamiltonian graph theory and produce a series of new results on the heavy subgraph conditions for Hamiltonian properties of graphs and related closures of graphs.

图的各种Hamilton性质的条件是图论研究中非常重要的内容。本项目将图的Hamilton性质的两个主要条件-度条件和禁用子图条件结合起来，研究所谓的重子图条件和相应的闭包理论与方法。对于重子图条件，将从分析图的不同Hamilton性质之间的区别与联系入手，熟悉已有度条件和禁用子图条件的结论，掌握相应的研究方法，以图的Hamilton性质的禁用子图对结论为出发点，通过理论证明和构造反例，确定在Ore-型重子图条件、Fan-型重子图条件和Ore-型与Fan-型组合重子图条件下图的Hamilton性质的重子图对。对于重子图条件下的闭包，将在深入研究无爪图闭包理论与方法的基础上，针对不同的重子图条件，引入合适的闭包概念，讨论各种Hamilton性质在闭包意义下的稳定性。以上工作将在Hamilton图论研究中开辟新的方向，获得关于图的Hamilton性质的重子图条件和相应的闭包理论的系列结果。

本项目将图的Hamilton性的最主要的两类条件——度条件和禁止子图条件结合起来，研究所谓的重子图条件和相应的闭包理论与方法。主要研究四个方面的内容：图的Hamilton性的Ore-型重子图条件，Fan-型重子图条件，Ore-型与Fan-型重子图条件的结合以及与这些条件相应的闭包理论与方法。得到的主要结果包括：刻画了保证2-连通图为Hamilton图的所有的o-重子图对；构造了一个{K_{1,3},P_6}-o-重的非Hamilton图；刻画了2-连通K_{1,3}-o-重图为Hamilton图的所有禁用子图；刻画了所有非P_3的连通图R和S，使得任意的R-f-和S-f-重图（R-o-和S-f-重图，R-f-重的和无S图）为Hamilton图；证明了每个2-连通{K_{1,3},P_7,D}-f-重的，或者{K_{1,3},P_7,H}-f-重的图为Hamilton图；给出了关于2-连通的o-重图和3-连通的1-重图中Hamilton圈存在性的两个结论；刻画了所有的满足如下条件的连通图H：任何2-连通无爪图G中若每个导出的H的端点的度至少为|V(G)|/3+1，则G是Hamilton的；证明了2-连通o-重爪的和Z_3-f-重的图中存在一个Hamilton圈或者是两类可以完整刻画的图；给出了把Ore-型度和条件和Fan-型度条件限制在P_6上的2-连通重爪图为Hamilton图的条件；刻画了几乎所有的使得1-坚韧图是Hamilton图的禁止子图；刻画了保证2-连通图为齐次可迹图的所有禁用子图对和重子图对；刻画了保证块链（block chain）为可迹图的所有禁用子图对和重子图对；刻画了2-连通图为泛圈图的重子图对；刻画了使得连通图有完美匹配的重子图。刻画了使得2-连通图包含一个2-因子的所有重子图对。这些结果丰富了关于图的Hamilton性的研究结果和方法，加深了对Hamilton问题的认识。